Мягкая посадка
Космический корабль должен приземлиться на лишённую атмосферы планету и коснуться её поверхности со скоростью, не превышающей , которую могут погасить амортизаторы. На высоте над поверхностью планеты командир корабля включил тормозной реактивный двигатель, создающий силу тяги, направленную вверх.
Какой по величине в этот момент была скорость корабля, направленная вертикально вниз, если оказалось, что в процессе посадки он истратил минимальное количество топлива? Если таких скоростей несколько, то укажите их все.
Массовый расход топлива и скорость истечения газов относительно корпуса корабля считайте постоянными (командир может выбирать любое значение расхода ). Изменение массы корабля не учитывайте, ускорение свободного падения равно .
Возможное решение.
Пусть — масса космического корабля, — массовый расход топлива, — скорость истечения газов относительно корабля, — начальная скорость корабля, — ускорение корабля (направлено вверх). Поскольку и постоянны, то и реактивная сила тяги
тоже постоянна, следовательно, корабль движется равноускоренно. Пусть его конечная скорость равна .
Введём ось , направленную вертикально вверх, тогда ускорение корабля
Время от начала торможения до касания поверхности
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось :
Общий расход топлива за время торможения равен
Из неравенства Коши известно, что если произведение двух величин равно константе, то их сумма достигает минимума при равенстве величин. В нашем случае
значит, минимальная масса потраченного топлива достигается при
Подставим найденное значение в формулу для массы потраченного топлива:
Значит, будет минимальной при максимальной конечной скорости , следовательно,
Полученный ответ справедлив при ; в противном случае будет отрицательный расход топлива и отрицательная начальная скорость, что противоречит физическому смыслу.
Рассмотрим отдельно случай, когда . При этом корабль может совершать свободное падение с нулевым расходом топлива. Например, при нулевой начальной скорости он приблизится к поверхности со скоростью , которая меньше предельной посадочной. Во втором случае из закона сохранения энергии
и, учитывая, что , получаем:
Окончательный ответ: если , то
при этом двигатели работают, и расход не нулевой. Если , то
при этом двигатели не работают, и расход топлива равен нулю.
Выражение для реактивной силы .
Второй закон для корабля.
Уравнение равноускоренного движения.
Получена функция, связывающая количество потраченного топлива и начальную скорость.
Анализ на минимум в общем случае: .
Анализ оптимальной конечной скорости: . Если используется без обоснования, то за этот пункт баллов, а остальные пункты оцениваются согласно критериям.
Найден ответ для основного случая: .
Указана граница применимости основного случая: .
Отдельно указан случай .
Найдена скорость для случая : . Если вместо неравенства найдена лишь одна подходящая скорость, ставить балла.