Ломоносов 2026, 7-9 классы, задача 1
Заяц бегает по ровному полю c постоянной по модулю скоростью по окружности радиусом . Волк, находящийся в центре окружности, по которой бегает заяц, в момент времени решает побежать за ним, всё время направляя свою скорость точно на зайца. Чему будет равно расстояние между волком и зайцем через время при длительной погоне ()? Модуль скорости волка постоянен и равен ?
Ответ
Решение.
Обратим внимание, что по условию задачи модуль скорости волка меньше модуля скорости зайца (). Траектория волка будет иметь вид спирали, однако с течением времени при возникнет установившийся режим, при котором спиральная траектория волка будет вырождаться в окружность радиуса . При этом центр окружности радиуса совпадает с центром окружности радиуса (см. рисунок). В этом установившемся режиме скорость волка направлена по касательной к траектории волка, т.е. по касательной к окружности радиуса .
Таким образом, с течением времени расстояние между волком и зайцем стремится к величине , которую и требуется найти. В установившемся режиме заяц и волк будут пробегать полный круг за одинаковое время:
Из прямоугольного треугольника на рисунке получим:
Подставив полученное ранее выражение для , находим установившееся расстояние между волком и зайцем:
Ответ.