Покори Воробьевы горы 2026, 11 класс, задача 1
Вопрос: Цилиндрический диск катится без проскальзывания по плоской поверхности (плоскость диска перпендикулярна этой поверхности), и в некоторый момент времени точка диска на середине горизонтального радиуса движется со скоростью под углом к горизонту. С какой скоростью в этот момент движется центр диска?
Задача: Катушка массы состоит из двух одинаковых массивных однородных цилиндрических “крышек” радиуса , соединенных тонкостенной легкой цилиндрической трубкой радиуса (все три цилиндра имеют общую ось). Эта катушка покоилась на горизонтальной шероховатой поверхности. На поверхность трубки намотана тонким слоем легкая нерастяжимая нить, конец которой потянули с силой (где - ускорение свободного падения), поддерживая постоянным угол наклона свободного конца нити к горизонтали. В какую сторону и с каким ускорением будет двигаться поступательно ось катушки, если при этом катушка не будет скользить по поверхности, и нить будет сматываться с нижней части поверхности трубки без проскальзывания? При какой величине коэффициента трения между “крышками” и поверхностью такое движение возможно?
Ответ
Ответ на вопрос: Скорость отмеченной точки диска можно представить как векторную сумму скорости центра диска (направленной при таком движении горизонтально) и скорости вращения этой точки вокруг центра диска (направленной перпендикулярно радиусу, то есть вертикально). Значит,
Примечание: В варианте на олимпиаде в тексте присутствовало условие качения катушки без проскальзывания, что приводило к несогласованности условий. Поэтому при оценке работ полный балл за ответ на этот вопрос ставился не только за приведенное решение, но и за решение, в котором было указано на эту несогласованность, а также за некоторые другие решения, в которых участники предлагали допустимую интерпретацию условия.
Решение задачи: Ясно, что мгновенная ось вращения катушки проходит через точку касания поверхности . Кроме того, благодаря нерастяжимости нити и жесткости катушки, для любой из точек катушки, принадлежащей прямой (идущей вдоль нити), проекция скорости точки на эту прямую равна скорости вытягивания нити.
Здесь точка - точка, в которой нить «уходит» с внутреннего радиуса катушки, а точка - основание перпендикуляра, опущенного из МЦВ катушки на . Ясно, что скорость точки направлена строго вдоль нити, поэтому величина ее скорости равна . В нашем случае , и катушка является «послушной» - ее вращение соответствует качению в направлении за направлением вытягивания нити. Угловая скорость катушки
а скорость ее центра масс
Таким образом, мы можем выразить кинетическую энергию катушки через скорость вытягивания нити:
Увеличение этой кинетической энергии происходит за счет работы силы , так что
Ускорение центра масс катушки
С другой стороны, это ускорение создается силой трения и горизонтальной компонентой силы натяжения нити:
Сила нормальной реакции поверхности . Поскольку , то .
ОТВЕТЫ: Катушка покатится за нитью с ускорением , коэффициент трения должен удовлетворять условию .