Покори Воробьевы горы 2024, 10 класс, задача 1

Ответ на вопрос: Ясно, что сила натяжения в разных сечениях лески практически одинакова. Так как массы участков одинаковы, а длины отличаются в три раза, то в три раза отличаются и площади их поперечного сечения (площадь сечения более короткого участка больше). Коэффициент жесткости участка лески прямо пропорционален площади сечения и обратно пропорционален его длине, так что коэффициент жесткости более короткого участка в раз больше, чем у более длинного. Значит, растяжение более короткого участка в раз меньше, чем у более длинного, а в сумме их растяжения дают . Итак, растяжение более короткого участка равно , а более длинного - .

Решение задачи: Пусть - угол между нитями в положении равновесия. Из геометрии ясно, что . Запишем условия равновесия груза в проекции на оси и , показанные на рисунке:

Отметим, что в этих уравнениях число неизвестных сил реакции явно больше числа уравнений, то есть определить эти силы однозначно нельзя. К этим уравнениям можно добавить условие равновесия моментов сил, но для его записи потребуется дополнительная информация (о форме груза и положении точек закрепления концов нитей), и оно в действительности будет определять положение точки приложения силы нормальной реакции поверхности. По условию равновесие имеет место, так что неизвестные нам параметры системы таковы, что это уравнение выполнено. При этом у почти всех сил реакции ( и ) известны направления в положении равновесия - кроме силы трения, направление которой зависит от «предистории» образования состояния равновесия. Поэтому сразу договоримся, что у силы нормальной реакции и сил натяжения информация о направлении уже учтена (и в записанных уравнениях они положительны), а сила трения записана в проекции на ось .

Геометрия системы и информация о деформациях позволяет установить соотношение сил натяжения второй (верхней) и первой (нижней) нитей. В самом деле, пусть растяжение первой нити в положении равновесия равно . Длина второй нити в недеформированном состоянии равна , а положении равновесия, как следует из теоремы косинусов

Оставляя слагаемые первого порядка по малым деформациям, получаем:

Коэффициенты жесткости отрезков одной и той же нити обратно пропорциональны их длинам в недеформированном состоянии, то есть

Значит:

В результате находим, что . Сила трения в положении равновесия удовлетворяет условию

Таким образом,

и максимальная величина силы натяжения нижней нити равна

Аналогично минимальная

и поэтому их отношение

Ясно, что для максимальности силы натяжения нужно, чтобы сила трения была направлена по оси (вниз) и иметь максимальную для силы трения покоя величину. Для реализации такого состояния равновесия необходимо сдвинуть груз вниз, приложив силу, направленную вдоль оси , растянув отрезки нити настолько, чтобы при отпускании груза он начинал бы скользить вверх за счет сил натяжения нити. Затем нужно плавно уменьшать прикладываемую силу, чтобы груз очень медленно скользил вверх до положения, в котором сила трения превратится в силу трения покоя, которая при максимальной величине удержит груз в состоянии равновесия.

Примечание: Некоторые участники восприняли слова «отрезки нити» как описание «математического» (а не реального) деления нити, то есть считали, что груз подвешен на единой нити со скользящим прикреплением (например, эта нить перекинута через блок, ось которого прикреплена к грузу). Но мнению жюри, такое понимание противоречит условию. Кроме того, таким образом задача существенно упрощается: в этом случае в условии равновесия можно сразу считать , и исследование механических свойств отрезков не требуется. Тогда мы приходим к соотношениям

и

Следовательно, в этом случае «крайние» значения величины силы натяжения нижней нити

и в итоге отношение этих величин