Покори Воробьевы горы 2022, 9 класс, задача 1
Вопрос: Рассмотрите разгон по горизонтальной прямой дороге автомобиля с нейтральным аэродинамическим профилем (при его движении сила, действующая на него со стороны воздуха, не имеет ни подъемной, ни прижимающей к дороге компоненты), для которого сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату его скорости относительно воздуха. В безветренную погоду он может разогнаться до скорости км/ч, и на такой скорости колеса автомобиля уже проскальзывают. До какой скорости сможет разогнаться этот автомобиль, если мощность его двигателя увеличить на (при тех же форме и размерах корпуса и массе автомобиля)? Считайте, что КПД двигателя от скорости не зависит.
Задача: У модели самолета винт установлен на носу корпуса, и сила его тяги направлена «вперед» вдоль корпуса. Силу взаимодействия корпуса модели с воздухом при движении со скоростью, направленной вдоль корпуса, можно разложить на две компоненты: силу лобового сопротивления, направленную против скорости модели, и подъемную силу крыльев, направленную «вверх» перпендикулярно плоскости крыльев (она всегда параллельна оси корпуса). Величины обеих компонент пропорциональны квадрату скорости самолета относительно воздуха (коэффициенты пропорциональности - постоянные величины для данной конструкции модели). Для горизонтального полета по прямой в безветренную погоду модели необходимо двигаться со скоростью м/с, и при этом двигатель модели должен развивать мощность, равную от максимальной. Найдите радиус окружности, по которой будет лететь эта модель в горизонтальной плоскости при максимальной мощности двигателя (в отсутствие ветра). Ускорение свободного падения м/с.
Ответ
Ответ на вопрос: Максимальная скорость останется равной примерно км/ч. Здесь важно обратить внимание, что на максимальной скорости колеса автомобиля проскальзывают. В этом режиме сила трения ведущих колес о поверхность дороги уравновешивает силу сопротивления воздуха, а сама сила трения является силой трения скольжения - практически не зависит от скорости и примерно равна , то есть она не изменяется при изменении мощности двигателя без изменения массы автомобиля. Поскольку форма и размеры корпуса автомобиля не изменились, то коэффициент пропорциональности между величиной силы сопротивления и квадратом скорости не изменяется. Значит, максимальная скорость, определяемая условием , практически не изменится при увеличении мощности - увеличится лишь угловая скорость вращения колес, что приведет к более сильному проскальзыванию и более интенсивному разогреву и износу шин.
Решение задачи: Пусть, согласно условию, величина силы лобового сопротивления при скорости модели относительно воздуха , а величина подъемной силы , где и - постоянные для данной модели величины. При горизонтальном полете по прямой в безветренную погоду с постоянной скоростью подъемная сила уравновешивает силу тяжести модели
а сила тяги двигателя уравновешивает силу лобового сопротивления . Мощность, развиваемая двигателем (полезная мощность) равна
откуда находим, что
При полете по горизонтальной окружности с постоянной расходуемой мощностью модуль скорости тоже должен быть постоянен - сила тяги двигателя, направленная по касательной к окружности, по-прежнему уравновешивает силу лобового сопротивления, и
Значит, величина скорости модели при таком полете
Ясно, что подъемная сила увеличилась:
но ее вертикальная компонента по-прежнему уравновешивает силу тяжести. Поэтому при полете по окружности на такой скорости модель должна повернуть плоскость крыльев так, чтобы она составляла угол с горизонтом (а подъемная сила при этом отклонится на угол от вертикали), причем
Заметим, что . Горизонтальная компонента подъемной силы должна создавать центростремительное ускорение:
Ответ: м.