Покори Воробьевы горы 2024, 9 класс, задача 1
Вопрос: Чему равна относительная скорость двух шариков, летящих со скоростями и , если угол между направлениями их движения равен ?
Задача: Пилот космического корабля, летевшего прямолинейно со скоростью (в системе отсчета, связанной с Солнцем), заметил впереди крупный болид, летевший со скоростью , движущийся под углом к курсу корабля. В момент обнаружения болид находился на расстоянии от ближайшей к нему точки курса корабля, а эта точка находилась на расстоянии от корабля (см. рисунок). На каком минимальном расстоянии друг от друга пройдут корабль и болид, если корабль не будет изменять свою скорость?
Ответ
Ответ на вопрос: Вектор относительной скорости для поступательно движущихся тел равен разности векторов скоростей тел. Поэтому
или . Ясно, что аналогичный результат дает, например, использование теоремы косинусов для треугольника скоростей.
Решение задачи: Перейдем в Систему Отсчета, связанную с кораблем. Скорость болида в этой СО . Как ясно из анализа векторного треугольника, угол между направлением движения корабля относительно исходной СО и линией относительного движения болида равен (действительно, перпендикулярная составляющая равна , а параллельная равна , то есть ). Минимальное расстояние между кораблем и болидом не зависит от выбора СО, и в нашей СО оно равно длине перпендикуляра , опущенного на линию относительного движения болида.
Как видно, . Теперь легко найти
Менее двух километров - очень близко при таких скоростях!
Ответ: .