Покори Воробьевы горы 2024, 9 класс, задача 1
Вопрос: Чему равна относительная скорость двух шариков, летящих со скоростями и , если угол между направлениями их движения равен ?
Задача: Пилот космического корабля, летевшего прямолинейно со скоростью (в системе отсчета, связанной с Солнцем), заметил впереди крупный болид, летевший со скоростью , движущийся под углом к курсу корабля. В момент обнаружения болид находился на расстоянии от ближайшей к нему точки курса корабля, а эта точка находилась на расстоянии от корабля (см. рисунок). На каком минимальном расстоянии друг от друга пройдут корабль и болид, если корабль не будет изменять свою скорость?
Ответ на вопрос: Вектор относительной скорости для поступательно движущихся тел равен разности векторов скоростей тел. Поэтому
или . Ясно, что аналогичный результат дает, например, использование теоремы косинусов для треугольника скоростей.
Решение задачи: Перейдем в Систему Отсчета, связанную с кораблем. Скорость болида в этой СО . Как ясно из анализа векторного треугольника, угол между направлением движения корабля относительно исходной СО и линией относительного движения болида равен (действительно, перпендикулярная составляющая равна , а параллельная равна , то есть ). Минимальное расстояние между кораблем и болидом не зависит от выбора СО, и в нашей СО оно равно длине перпендикуляра , опущенного на линию относительного движения болида.
Как видно, . Теперь легко найти
Менее двух километров - очень близко при таких скоростях!
Ответ: .
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Произведен переход в СО, связанную с одним из тел
Правильно построен векторный треугольник скоростей
Правильно определен угол , или другой параметр, характеризующий направление относительного движения
Предложен корректный способ определения минимального расстояния (сделан поясняющий рисунок или корректно записаны уравнения, из которых может быть определена эта величина)
Получено уравнение, эквивалентное
Записано выражение, эквивалентное
Получен правильный аналитический ответ
Получен правильный численный ответ