Покори Воробьевы горы 2025, 9 класс, задача 4
Вопрос: Пловец пересек прямолинейный участок реки шириной , двигаясь всегда под углом к берегу, а затем вернулся обратно по тому же пути. Какое время он потратил, если скорость течения была равна , а скорость пловца относительно воды - ?
Задача: Два вертолета стартовали одновременно с площадок и . Каждый из них сначала пролетел половину окружности радиусом км (долетев точно до второй площадки), а затем возвращался назад по ее диаметру. В этот день ветер дул от к со скоростью, которая была в раз меньше скорости движения каждого из вертолетов относительно воздуха. На каком расстоянии от центра окружности произошла встреча вертолетов?
Ответ на вопрос: При перемещении пловца со скоростью относительно воды, движущейся относительно берега со скоростью , скорость его перемещения относительно берега . Чтобы удержаться на заданном курсе относительно берега (под углом ), пловец должен направлять свою скорость под некоторым углом упреждения к курсу. Если курс таков, что течение «попутное», то
Эту величину иногда называют «курсовой скоростью», или скоростью продвижения по заданному курсу относительно берега. Аналогично для «встречного» течения . Поэтому время переправы «туда и обратно»
Решение задачи: Рассмотрим полет первого вертолета от до . Скорость его продвижения по полуокружности все время изменяется из-за изменения угла между направлением движения и направлением ветра. Вычислим время, за которое он пролетает маленький участок этой окружности с угловым размером , касательная к которому направлена под углом к линии (см. рисунок). Воспользовавшись выражением для курсовой скорости, находим, что
Полное время полета первого вертолета от до равно сумме всех таких времен для всех участков полуокружности. Время полета второго вертолета от до по своей полуокружности - это сумма выражений вида
Ясно, что , а их разность
Теперь можно заметить, что последняя сумма есть сумма проекций участков полуокружностей на линию , то есть она равна
Тогда ясно, что
Если мы вычислим разность времен, которые потратят первый и второй вертолет на полеты по прямой (от до и от до соответственно), то тут мы обнаружим, что дольше летит (против ветра) первый вертолет, и при этом
Таким образом, полный маршрут оба вертолета пролетают за одинаковое время (в конечные пункты они прилетают одновременно). Так как в точке встречи они тоже, естественно, находятся одновременно, то время полета первого вертолета от точки встречи до и время полета второго от точки встречи до равны, то есть
Ответ: На расстоянии .
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
в решении используется правильная формула для курсовой скорости или правильные эквивалентные выражения
время полета по полуокружности корректно вычисляется как сумма времен прохождения ее малых участков
в решении указано, что полное время полета вертолетов одинаково
записаны явные правильные выражения для и
правильно вычислена их разность
в решении доказано, что полное время полета вертолетов одинаково
получен аналитический ответ в виде
получен правильный численный ответ