Покори Воробьевы горы 2024, 10 класс, задача 2
Вопрос: Какие значения может принимать показатель адиабаты для идеального газа?
Задача: В цилиндрическом сосуде с гладкими теплоизолирующими вертикальными стенками под горизонтальным теплоизолирующим поршнем находится воздух. Изначально поршень находится в равновесии, и расстояние между нижней поверхностью поршня и дном сосуда равно . На поршень аккуратно поставили небольшую гирьку, и он начал опускаться. В тот момент, когда поршень достиг наинизшего положения на высоте над дном сосуда, гирьку так же аккуратно убрали. До какой максимальной высоты поднимется поршень после этого? Вязкостью воздуха можно пренебречь, воздух можно считать двухатомным идеальным газом, происходящие с ним процессы - квазиравновесными, а изменениями внешнего атмосферного давления можно пренебречь.
Математическая подсказка: При и с ошибкой порядка справедлива приближенная формула
Ответ
Ответ на вопрос: Внутренняя энергия идеального газа может быть описана формулой
в которой - число классических степеней свободы молекулы газа, равное для одноатомных молекул, для двухатомных и для «многоатомных». Так как в адиабатическом процессе теплообмен отсутствует, то для бесконечно малого участка процесса
Если ввести величину
то это соотношение можно переписать в форме
Мы получили уравнение адиабаты в координатах давление-объем и установили, что показатель адиабаты для классического идеального газа равен , то есть он может принимать значения , и .
Решение задачи: Пусть - сечение цилиндра, - масса поршня, - масса гирьки, - атмосферное давление. Начальное давление азота в сосуде
В процессе опускания поршня с высоты до высоты в условиях теплоизоляции внутренняя энергия азота растет за счет работы внешнего давления и силы тяжести (кинетическая энергия поршня и гирьки в обоих положениях равна нулю):
то есть, если обозначить
С учетом уравнения адиабаты (для двухатомного газа ) , и поэтому
Отметим, что , так что, воспользовавшись математической подсказкой, находим, что с ошибкой порядка величина
В процессе подъема поршня от высоты до высоты аналогично
Следовательно,
Естественно ожидать, что отличие от единицы тоже будет малым: , и
Таким образом, .
Возможный вариант решения задачи: Использование «математической подсказки» при вычислении связи давления с высотой положения поршня приводит к тому, что силы, действующие на поршень, оказываются линейными функциями его координаты. Поэтому в таком приближении движение поршня можно считать «почти гармоническим» и при его анализе заменить силу, действующую со стороны воздуха, на силу упругости «пружины». Тогда ясно, что после включения дополнительной постоянной нагрузки, которая вызывает смещение поршня от положения равновесия до остановки и последующего снятия этой нагрузки, поршень вернется в положение равновесия, набрав скорость и после этого пройдет «за» это положение до остановки еще точно такое же расстояние. Поэтому .