Покори Воробьевы горы 2024, 9 класс, задача 4
Вопрос: Прочный (практически недеформируемый) стакан, находившийся в воздухе, перевернули вверх дном и опустили целиком в воду. Оказалось, что сила Архимеда больше силы тяжести, действующей на стакан с воздухом. Может ли быть, что при опускании на некоторую глубину сила Архимеда станет меньше этой силы тяжести? Ответ объяснить.
Задача: В широкий сосуд с водой помещен тонкий стержень постоянного сечения из очень легкого материала - его плотность в раз меньше плотности воды. Стержень шарнирно закреплен на дне сосуда (то есть он может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира). Первоначально уровень воды в сосуде равнялся длине стержня, и стержень располагался вертикально. Затем уровень воды начали плавно (с постоянной скоростью , которая значительно меньше скорости, которую набрал бы стержень, падая в отсутствие воды) понижать. Найдите закон изменения с течением времени угла отклонения стержня от вертикали .
Ответ
Ответ на вопрос: В перевернутом стакане под водой может оставаться воздух, и если на небольшой глубине сила Архимеда была больше силы тяжести, то этот воздух создавал большую часть «погруженного» объема. С увеличением глубины погружения увеличивается внешнее давление на воздух в стакане, объем воздуха уменьшается, и вместе с ним уменьшается сила Архимеда. В результате она может стать меньше силы тяжести. Тогда перевернутый стакан, который при небольшом погружении сразу всплывал, при достаточно большом погружении может утонуть.
Решение задачи: Так как снижение уровня воды происходит плавно, то в каждый момент времени стержень находится в «квазиравновесном» состоянии. Тогда сумма моментов сил тяжести и Архимеда относительно оси шарнира должна равняться нулю. Запишем это условие для момента времени , в который уровень воды с плотностью равен , а угол отклонения стержня от вертикали равен . Тогда получим:
Поскольку , а , то . Значит, угол отклонения стержня от вертикали . Конечно, косинус угла не может быть больше , так что для моментов времени, когда
стержень остается вертикальным (), а затем начинает отклоняться. К моменту времени уровень воды понижается до нуля, и стержень ложится на дно.
Ответ: