Покори Воробьевы горы 2024, 9 класс, задача 4
Вопрос: Прочный (практически недеформируемый) стакан, находившийся в воздухе, перевернули вверх дном и опустили целиком в воду. Оказалось, что сила Архимеда больше силы тяжести, действующей на стакан с воздухом. Может ли быть, что при опускании на некоторую глубину сила Архимеда станет меньше этой силы тяжести? Ответ объяснить.
Задача: В широкий сосуд с водой помещен тонкий стержень постоянного сечения из очень легкого материала - его плотность в раз меньше плотности воды. Стержень шарнирно закреплен на дне сосуда (то есть он может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира). Первоначально уровень воды в сосуде равнялся длине стержня, и стержень располагался вертикально. Затем уровень воды начали плавно (с постоянной скоростью , которая значительно меньше скорости, которую набрал бы стержень, падая в отсутствие воды) понижать. Найдите закон изменения с течением времени угла отклонения стержня от вертикали .
Ответ на вопрос: В перевернутом стакане под водой может оставаться воздух, и если на небольшой глубине сила Архимеда была больше силы тяжести, то этот воздух создавал большую часть «погруженного» объема. С увеличением глубины погружения увеличивается внешнее давление на воздух в стакане, объем воздуха уменьшается, и вместе с ним уменьшается сила Архимеда. В результате она может стать меньше силы тяжести. Тогда перевернутый стакан, который при небольшом погружении сразу всплывал, при достаточно большом погружении может утонуть.
Решение задачи: Так как снижение уровня воды происходит плавно, то в каждый момент времени стержень находится в «квазиравновесном» состоянии. Тогда сумма моментов сил тяжести и Архимеда относительно оси шарнира должна равняться нулю. Запишем это условие для момента времени , в который уровень воды с плотностью равен , а угол отклонения стержня от вертикали равен . Тогда получим:
Поскольку , а , то . Значит, угол отклонения стержня от вертикали . Конечно, косинус угла не может быть больше , так что для моментов времени, когда
стержень остается вертикальным (), а затем начинает отклоняться. К моменту времени уровень воды понижается до нуля, и стержень ложится на дно.
Ответ:
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Указано (используется в решении), что можно использовать квазистатическое приближение
Указано, что можно использовать условие равенства нулю суммарного момента относительно шарнира
Замечено, что существует участок значений времени, когда стержень остается вертикальным
Указан момент времени, когда стержень «ляжет» на дно сосуда
Используется правильное выражение для силы Архимеда
Правильно записано уравнение моментов
Получено правильное уравнение, позволяющее найти связь угла отклонения и времени
Правильно указан момент начала наклона стержня
Получен правильный и полный ответ