Росатом 2023, Отбор, 10 класс, задача 4
Тонкостенный шар радиуса , имеющий малые отверстия внизу и вверху, плавает в высоком цилиндрическом сосуде с водой радиуса , погрузившись в воду на две трети своего объема, при этом воды в шаре нет. Вода начинает медленно поступать в шар через нижнее отверстие, вытесняя воздух через верхнее. Каким будет уровень воды в сосуде, когда (а) шар заполнится водой наполовину, (б) полностью заполнится водой?
Решение.
Пусть масса шара . Тогда условия плавания шара дают
где - плотность воды, - объем шара (по условию - объем погруженной в воду части пустого шара равен двум третьим частям его объема).
Пусть какая-то часть объема шара заполнится водой, но шар еще плавает. Тогда его масса увеличится на величину , и на такую же величину должна увеличиться сила Архимеда
где - увеличение объема погруженной в воду части шара. Отсюда видим, что
Другими словами, объем вошедшей в шар воды в точности равен увеличению объема погруженной в воду части шара, а объем погруженной в воду и не заполненной водой части шара равен двум третьим частям его объема. Отсюда следует, что
(1) пока шар плавает, уровень воды в сосуде не меняется
(2) шар утонет, когда водой заполнится более одной трети его объема
(3) объем воды в сосуде плюс объем погруженной в воду части шара (т.е. тот объем, который определяет уровень воды в сосуде) уменьшается на объем воды, вошедшей в шар, после того, как он утонул.
Поэтому при заполнении половины шара водой, объем воды в сосуде плюс объем погруженной в воду части шара уменьшится на величину
Это приведет к понижению уровня воды в сосуде на величину , которая определяется из уравнения
Аналогично найдем, что когда шар будет полностью заполнен водой, уровень воды в сосуде понизится на следующую величину
Правильный (и обоснованный) вывод, что пока шар плавает, уровень воды в сосуде не меняется
Правильно найден объем незаполненной водой части шара в тот момент, когда шар утонул
Правильный вывод, что когда водой будет заполняться пустой объем утонувшего шара уровень воды в сосуде будет опускаться
Правильный ответ для величины понижения уровня воды в сосуде