Росатом 2024, Отбор, 11 класс, задача 1
К телу массой , лежащему на гладком горизонтальном столе, прикреплена легкая пружина с жесткостью . Второй конец пружины начинают двигать с постоянной скоростью . Найти максимальную кинетическую энергию тела в процессе движения. Через какое минимальное время после начала движения, кинетическая энергия тела будет максимальной?
Решение.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся относительно земли со скоростью , которая направлена в том же направлении, в котором мы тянем пружину. В этой системе отсчета конец пружины покоится, а телу толчком сообщили скорость , направленную от конца пружины. Очевидно, что в этой системе отсчета тело совершает гармонические колебания, в которых максимальная величина скорости тела равна , а направления максимальной скорости чередуются: через половину периода колебаний (через , где - период колебаний) вектор максимальной скорости тела (в рассматриваемой системе отсчета) направлен от тела, еще через половину периода - к телу, еще через полпериода от тела и т.д. А поскольку скорость конца пружины в системе отсчета, связанной с землей, направлена от тела, то через половину периода колебаний скорость тела относительно земли будет равна , через - нулю и т.д. Поэтому впервые после начала движения кинетическая энергия тела станет максимальной через время
А само максимальное значение кинетической энергии равно
Осуществлен переход в систему отсчета, связанную с концом пружины и доказано, что движение тела есть колебание
Доказано, что максимальная скорость тела в этой системе отсчета есть
Утверждение, что в системе отсчета, связанной с землей максимальная скорость тела -
Правильный ответ для максимальной кинетической энергии тела
Правильный ответ для времени, через которое кинетическая энергия достигает максимума