Росатом 2025, Отбор, 11 класс, задача 5
В полусферическую гладкую лунку радиуса положили стержень длиной (см. рисунок). Каким будет угол между стержнем и горизонтальной плоскостью в равновесии стержня (угол на рисунке). Трение между всеми поверхностями отсутствует. Плоскость, «замыкающая» полусферическую лунку, горизонтальна.
Решение.
Здесь можно пойти традиционным методом - силы, моменты, условие равновесия... Но технически оказывается более простым нахождение минимума потенциальной энергии.
Положению равновесия любого тела отвечает минимум его потенциальной энергии. Давайте найдем потенциальную энергию как функцию угла , а потом найдем минимум этого выражения. Но сначала некоторые геометрические действия.
Раз угол между стержнем и верхней плоскостью лунки равен , то угол между нижней точкой стержня и горизонталью тоже равен . Но углу равен и угол между стержнем и направлением на центр лунки из нижней точки стержня (угол ). Действительно, углы и равны как вертикальные, а углы и равны как углы при основании равнобедренного треугольника . Поэтому нижняя точка стержня поднята над нижней точкой лунки на величину
а центр тяжести стержня (показан точкой на рисунке) на величину над этой точкой. Поэтому потенциальная энергия стержня относительно нижней точки лунки как функция угла наклона стержня равна
Дифференцируя эту функцию по и приравнивая производную к нулю, получим
После простейших преобразований это равенство приводится к следующему квадратному уравнению относительно :
Решая это квадратное уравнение, получим
(второй корень является отрицательным, у нас же угол заведомо острый с положительным косинусом).
Правильная идея решения - использование условия минимума потенциальной энергии или уравнений статики
Правильное геометрически нахождение всех углов (как в приведенном выше решении, или при решении через силы, между силами)
Правильно найдена потенциальная энергия стержня (или правильные уравнения статики)
Правильное уравнение для нахождение тригонометрической функции угла
Правильный ответ