Росатом 2024, Отбор, 11 класс, задача 4
Вес цилиндрического стакана объемом равен . В стакан доверху насыпали одинаковые маленькие пенопластовые шарики и стали наливать некоторую жидкость, пока шарики не начали всплывать. В этот момент вес стакана (с жидкостью и шариками) стал равен . Найти плотность пенопласта.
Решение.
Пусть площадь сечения стакана - , высота - . Тогда его объем . По условию вес стакана равен .
Вес стакана с шариками и водой складывается из веса стакана, шариков и воды. Пусть в тот момент, когда шарики начали всплывать, мы налили в стакан жидкость высотой . Поскольку действующая на шарики сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости, а в момент начала всплытия сила Архимеда равна весу всех шариков, то произведение ( - плотность жидкости) равно суммарному весу жидкости и всех шариков. Поэтому
С другой стороны, в момент всплывания шариков действующая на них сила Архимеда равна силе тяжести. Поэтому
где - объем шариков, находящихся в жидкости, - объем всех шариков, - плотность шариков. Отсюда
Но поскольку шариков много и они маленькие, то отношение объема всех шариков к объему шариков, находящихся в жидкости равно отношению высот насыпки шариков в стакан (т.е. ) к высоте уровня воды в стакане :
Отсюда находим
Подставляя плотность жидкости в формулу (*), находим
и
Правильное условие равновесия стакана с шариками
Правильное нахождение веса стакана с шариками и водой в момент всплытия шариков
Правильное соотношение объема шариков и объема воды в стакане
Правильный ответ