Росатом 2025, Отбор, 9,10 класс, задача 5
В точке , находящейся на горизонтальной поверхности, закреплен конец лёгкой упругой нерастяжимой нити длиной . Второй конец нити прикреплен к точечному массивному телу. В начальный момент нить натянута, тело находится в точке . На той же поверхности на прямой, являющейся продолжением начального положения нити, на расстоянии от точки сделана небольшая лунка (см. рисунок, вид сверху; лунка находится в точке ). Под каким углом к начальному положению нити нужно толкнуть тело, чтобы оно попало в лунку, натянув нить один раз (не считая начального положения)? Трение отсутствует. Ненатянутая нить сопротивления движению тела не оказывает.
Решение.
Сразу после толчка нить перестанет быть натянутой, и не будет оказывать сопротивления движению тела. Поэтому тело будет двигаться прямолинейно под углом к первоначальному направлению нити (вдоль прямой на рисунке) с постоянной скоростью до того момента, когда нить снова натянется в точке (на рисунке начальное положение нити показано светлым пунктиром).
В этот момент на короткое время нить натянется, возникнет сила натяжения, которая изменит скорость тела. При этом, поскольку сила натяжения направлена вдоль нити, она изменяет только составляющую скорости тела, направленную вдоль нити, но не изменяет составляющую скорости, перпендикулярную нити. Поскольку нить упругая, то потерь механической энергии тела после натяжения нити не происходит, и составляющая скорости тела, направленная вдоль нити, после ее растяжения меняется на противоположную. А это значит, что углы между скоростью тела и положением нити в момент ее натяжения до и после натяжения будут одинаковы (скорость тела до натяжения нити показана пунктирным вектором, после натяжения - сплошным вектором). После этого тело сомнет нить, и далее будет двигаться прямолинейно. Чтобы оно попало в лунку, после натяжения нити оно должно двигаться вдоль прямой .
Поскольку треугольник равнобедренный (его стороны и равны длине нити), то (см. рисунок). Угол также равен , поскольку (как это доказано выше) после натяжения нити угол между нитью и вектором скорости не меняется: . А так как сумма углов в треугольнике равна , то угол равен . Значит, угол равен , а . Поэтому по теореме синусов для треугольника имеем
или
Решения этого уравнения можно найти подбором. Очевидно, решениями являются
(то, что это корни уравнения, проверяется непосредственной подстановкой). Первый и второй корни не подходят. Действительно, корень отвечает толчку тела вдоль нити. Но при таком движении тело попадет в лунку раньше, чем оно натянет нить один раз, и потому не выполнено условие однократного натяжения нити за исключением начального. Корень отвечает толчку противоположно начальному положению нити, что означает, что нить перед попаданием тела в лунку будет натянута только один раз, но этот «раз» совпадает с начальным. Поэтому для этого корня условие попадания при однократном натяжении нити за исключением начального не выполнено. В промежутке между этими корнями существует только один корень уравнения, поскольку угол, под которым расположена траектория тела после натяжения нити, меняется в зависимости от угла, под которым толкнули тело, монотонно (см. рисунок). Это и означает, что три перечисленных корня (из которых подходит только один) исчерпывают все решения уравнения. Уравнение (*) можно решить и непосредственно, воспользовавшись формулой сложения , а затем формулами для синуса и косинуса двойного угла. Это решение приводит к тем же корням, которые перечислены выше. Таким образом, для попадания в лунку при однократном натяжении нити (за исключением начального) тело нужно толкнуть под углом
к первоначальному расположению нити.
Правильное (и обоснованное) утверждение, что после натяжения нити тело будет двигаться с такой же по величине скоростью под тем же углом к нити
Правильное применение теоремы синусов к треугольнику между нитью, траекторией и направлением на лунку
Правильное уравнение для угла
Правильное решение (все три корня)
Правильное отбрасывание двух корней. Правильный ответ