Росатом 2025, Отбор, 10 класс, задача 4
Два шарика одинаковой массы закреплены на концах легкого стержня длиной , согнутого в середине под прямым углом (см. рисунок). Через вершину этого угла перпендикулярно плоскости чертежа проходит горизонтальная ось вращения. Стержень удерживают так, что одна его часть горизонтальна, вторая вертикальна, а потом отпускают. Найти максимальную скорость шариков в процессе последующего движения. Силой сопротивления воздуха и другими неупругими процессами пренебречь.
Решение.
Ясно, что у этой системы есть положение равновесия - стержни расположены симметрично по отношению в вертикали, проходящей через ось вращения. Т.е. углы между стержнями и вертикалью равны . Скорость шариков будет максимальной в тот момент, когда шарики будут проходить положение равновесия - в этом положении минимальна потенциальная энергия, значит, максимальна кинетическая. Найдем изменение потенциальной энергии системы шариков, а потом воспользуемся законом сохранения энергии.
Пусть уровень отсчета потенциальной энергии системы совпадает с начальным положением нижнего шарика. Тогда потенциальная энергия системы в начальном положении равна . В конечном положении каждый из шариков будет находиться на высоте
над началом отсчета потенциальной энергии, и потому потенциальная энергия системы в этом положении будет равна
Поэтому изменение потенциальной энергии системы равно
Используя теперь закон сохранения энергии для нашей системы тел и учитывая, что скорости шариков одинаковы, найдем
Правильное и обоснованное утверждение, что скорость шариков максимальна, когда стержни составляют угол с вертикалью
Использование закона сохранения энергии для системы шариков
Правильно найдены начальная и конечная потенциальная энергии системы шариков
Правильное уравнение закона сохранения энергии
Правильный ответ