Росатом 2026, Отбор, 11 класс, задача 4
Точечное тело массой лежит на конце доски доска длиной и массой . Доска находится на гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). Коэффициент трения между доской и телом равен , трения между доской и поверхностью нет. Какую минимальную скорость надо толчком сообщить доске в направлении того конца, на котором лежит тело, чтобы доска выскользнула из-под тела?
Решение.
При сообщении доске скорости она начнет двигаться и выскальзывать из-под тела. В результате на тело со стороны доски начнет действовать сила трения, направленная по ходу движения доски, разгоняющая тело. А на доску действует сила трения со стороны тела, тормозящая ее. Поэтому доска будет тормозить, а тело разгоняться. Если к какому-то моменту, когда тело будет находиться на доске, их скорости сравняются, проскальзывание между доской и телом прекратится; дальше они будут двигаться вместе, и тело не соскользнет с доски. Это значит, что тело соскользнёт с доски, если его скорость не сравняется со скоростью доски до того момента, когда его перемещение относительно доски будет равно длине доски. Минимальной начальной скорости доски, при которой тело соскользнет с нее, отвечает ситуация, когда скорость тела сравнивается со скоростью доски в тот момент, когда тело окажется на другом конце доски, или (что то же самое) перемещение тела относительно доски будет равно ее длине. Используем это условие для нахождения этой скорости.
На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, направленная по направлению движения доски. На доску - сила тяжести, сила реакции опоры со стороны поверхности и сила реакции со стороны тела, а также сила трения, направленная противоположно направлению движения доски (см. рисунок).
Второй закон Ньютона для тела и доски в проекциях на ось , направленную по направлению движения доски, дает
Где и - ускорения тела и доски (здесь учтено, что проекция ускорения доски на ось отрицательна). Поскольку до момента остановки тела относительно доски имеет место проскальзывание тела относительно доски, сила трения равна . Поэтому из системы уравнений (*) находим
Так как ускорения тела и доски не меняются в процессе их движения, движение тел - равноускоренное с ускорениями (**). Поэтому законы движения для доски и тела в системе координат, начало которой находится в той точке, где в начальный момент находилось тело, а ось направлена в направлении движения доски имеют вид
Где и - -координаты тела и доски, и - проекции их скорости на ось (координатой доски здесь мы считали координату того ее конца, где в начальный момент находилось тело). Скорости доски и тела сравняются в такой момент времени , когда выполнено условие
Отсюда
Чтобы тело к этому моменту не свалилось с доски, разность координат доски и тела не должна превышать длину доски
(минимальной начальной скорости доски, при которой доска выскользнет из-под тела отвечает равенство в (***).) Отсюда находим минимальную скорость доски, при которой она выскользнет из-под тела
Подставляя в эту формулу ускорения тела и доски, окончательно получаем
Правильная идея решения - сначала законы Ньютона, потом равноускоренного движения
Правильно найдены ускорения тела и доски и
Правильные уравнения равноускоренного движения
Правильное условие для минимальной скорости доски
Правильный ответ