Росатом 2022, Отбор, 11 класс, задача 5
Доска толщиной наклонена под углом к горизонту. В доске под некоторым углом к ее плоскости просверлили дырку. При каком угле наклона дырки к вертикали время спуска маленького тела через такую дырку минимально? Найти также это время. Трение отсутствует.
Решение.
Найдем время спуска тела в дырке и исследуем его на минимум.
Из геометрических соображений очевидно, что при наклоне дырки под углом к вертикали длина дырки будет равна
При этом, поскольку дырка будет наклонена под углом к горизонту, ускорение тела в дырке определяется соотношением
Поэтому время спуска тела в дырке можно найти из закона равноускоренного движения
Используя известную тригонометрическую формулу, получим
Из этой формулы следует, что время спуска минимально при таком угле наклона дырки к вертикали , при котором максимален знаменатель. Или максимален . Поэтому
Таким образом, чтобы время спуска тела в дырке было минимально, дырка должна быть наклонена под углом
к вертикали. Минимальное время спуска теперь легко найти из формулы (3), если подставить в нее это значение угла . Поэтому
Правильные законы равноускоренного движения
Правильно найдено время спуска для произвольного угла
Обоснована минимальность этого выражения при
Правильный ответ для минимального времени спуска