Росатом 2023, Отбор, 10 класс, задача 5
Друг на друга поставили два одинаковых кубика массой (см. рисунок). Затем нижний кубик жестко закрепили на поверхности, а к серединам ребер кубиков в точках и прикрепили невесомую нить, за середину которой тянут с медленно возрастающей силой . При каких значениях коэффициента трения между кубиками верхний кубик начнет скользить, а при каких опрокинется? Угол равен .
Решение.
Очевидно, сила натяжения нити равна
Чтобы верхний кубик опрокинулся, момент силы натяжения относительно правого-нижнего ребра верхнего кубика должен быть больше момента силы тяжести. А поскольку сила тяжести приложена к центру тяжести (геометрическому центру) верхнего кубика, это условие дает
( - ребро кубика). Отсюда и предыдущей формулы находим условие опрокидывания кубика
Найдем теперь условие скольжения верхнего кубика. Для этого сдвигающая сила должна быть больше максимальной силы трения покоя , где - сила реакции, действующая между кубиками. Поскольку
условие скольжения имеет вид
Кубик начнет скользить, если раньше с ростом начнет выполняться неравенство , чем неравенство . Поэтому условием опрокидывания является неравенство
Решим это неравенство относительно . Отметим, что знаменатель левой части неравенства положителен, поскольку в противном случае неравенство не выполнено. Поэтому из имеем
или
При выполнении этого неравенства верхний кубик опрокинется, в обратном случае будет скользить.
Правильное условие опрокидывания верхнего кубика
Правильное условие скольжения верхнего кубика
Правильное неравенство опрокидывания верхнего кубика
Правильный ответ для коэффициента трения, при котором верхний кубик опрокинется