Росатом 2026, Отбор, 11 класс, задача 5
Шар радиуса сделан из радиоактивного металла. Благодаря радиоактивным распадам в единице объема вещества шара в единицу времени выделяется количество теплоты . Найдите температуру в центре шара, если его поверхность поддерживается при температуре , а коэффициент теплопроводности материала шара равен . Указание. Количество тепла , переносимого в единицу времени через единицу площади тонкого слоя толщиной , одна поверхность которого поддерживается при температуре , вторая - при температуре , определяется законом:
где - коэффициент теплопроводности (закон Фурье).
Ответ
Решение.
Мысленно разобьем шар на очень тонкие сферические слои. Тогда в условиях равновесия поток тепла через каждый слой должен равняться мощности тепловыделения внутри этого слоя. Если через единицу времени через единицу площади тонкого сферического слоя радиуса толщиной проходит поток тепла , то поток через всю поверхность слоя будет равен
С другой стороны, поскольку мощность тепловыделения в единице объема вещества шара равна , то внутри слоя в единицу времени выделяется количество теплоты
Поэтому условие теплового динамического равновесия дает
Используя, далее для потока тепла закон Фурье (см. указание к условию задачи), получим
- радиус шара. Отсюда получаем