Кружатся диски
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника с электродвижущей силой , конденсатора ёмкостью , катушки индуктивностью , ключа и металлического диска радиусом . Диск может вращаться вокруг своей оси без трения. Диск расположен в однородном магнитном поле с индукцией , направленном вдоль его оси так, как показано на рисунке.
Практически вся масса диска сосредоточена в его тонком ободе. Источник соединён с диском в его центре , а катушка индуктивности соединена с диском с помощью неподвижного скользящего контакта . Омическим сопротивлением контура, по которому течёт ток, и наличием у него индуктивности (дополнительно к ) можно пренебречь. Ключ замыкают в момент времени . До замыкания ключа заряд конденсатора и угловая скорость вращения диска равнялись нулю.
1. Найдите максимальную угловую скорость вращения диска.
2. Через какое время после замыкания ключа эта скорость будет достигнута впервые?
Пусть диск вращается с угловой скоростью в направлении против часовой стрелки. У носителей зарядов, находящихся на расстоянии от оси диска, появляется коллективная скорость , перпендикулярная оси диска, и, соответственно, появляется одинаковая (не зануляющаяся при суммировании по всем носителям) составляющая силы Лоренца, которая вызовет перераспределение носителей по радиусу до стационарного состояния, в котором разность потенциалов в точках, находящихся на расстояниях и от оси диска, равна
Таким образом, присутствие магнитного поля вызовет появление во вращающемся диске ЭДС индукции, равной
по знаку противоположной ЭДС источника.
Запишем второй закон Кирхгофа для контура электрической цепи:
где — заряд конденсатора.
Далее запишем закон изменения энергии в электрической цепи, учитывая, что магнитное поле не совершает работы:
где и — энергия конденсатора и катушки индуктивности соответственно, а — кинетическая энергия вращения обода. Приведём выражения для них:
Дифференцируя по времени закон сохранения энергии, получим:
Умножая уравнение (2) на и вычитая из него уравнение (3), получим следующее соотношение между и :
В последнем переходе мы воспользовались начальными условиями
Примечание: связь и может быть получена из уравнения динамики вращательного движения диска относительно точки . Действительно,
Определим момент силы Ампера, действующей на возникающий в диске электрический ток:
где — расстояние до точки .
Поскольку через круг любого радиуса с центром в точке протекает ток силой , для момента получим:
Таким образом:
Таким образом, возможны три комбинации двух физических законов, приводящие к решению задачи:
1. Закон электромагнитной индукции и закон сохранения энергии.
2. Уравнение динамики вращательного движения и закон электромагнитной индукции.
3. Уравнение динамики вращательного движения и закон сохранения энергии.
Для определения максимальной угловой скорости заметим, что она достигается в момент, когда сила тока в цепи оказывается равной нулю. Тогда из закона изменения энергии имеем:
откуда
Комбинируя уравнения (2) и (4), получим:
Вводя переменную
получим уравнение гармонических колебаний:
Следовательно,
Определим и из начальных условий:
Окончательно для имеем:
Угловая скорость впервые достигает значения , когда , то есть при . Тогда для находим:
Метод 1. Получена правильная формула для ЭДС индукции, связанной с вращением диска.
Метод 1. Правильно записано уравнение баланса напряжений в цепи (2-й закон Кирхгофа) с учётом ЭДС индукции с точностью до знака.
Метод 1. Слагаемое ЭДС индукции имеет правильный знак.
Метод 1. Используется правильное выражение для энергии системы: энергия конденсатора, энергия катушки индуктивности и кинетическая энергия диска; для каждого слагаемого приведена корректная формула.
Метод 1. Правильно записано уравнение, в котором скорость изменения энергии системы приравнена к мощности, развиваемой источником.
Метод 1. Уравнение приведено к виду, связывающему производные функций q(t) и ω(t).
Метод 2. Получена правильная формула для ЭДС индукции, связанной с вращением диска.
Метод 2. Правильно записано уравнение баланса напряжений в цепи (2-й закон Кирхгофа) с учётом ЭДС индукции с точностью до знака.
Метод 2. Слагаемое ЭДС индукции имеет правильный знак.
Метод 2. Используется правильная формула для момента сил Ампера, действующих на токи в «тонком кольце» диска.
Метод 2. Получено правильное выражение для полного момента сил Ампера, действующих на токи в диске.
Метод 2. Записано правильное уравнение вращательного движения для диска.
Метод 3. Используется правильное выражение для энергии системы: энергия конденсатора, энергия катушки индуктивности и кинетическая энергия диска; для каждого слагаемого приведена корректная формула.
Метод 3. Правильно записано уравнение, в котором скорость изменения энергии системы приравнена к мощности, развиваемой источником.
Метод 3. Уравнение приведено к виду, связывающему производные функций q(t) и ω(t).
Метод 3. Используется правильная формула для момента сил Ампера, действующих на токи в «тонком кольце» диска.
Метод 3. Получено правильное выражение для полного момента сил Ампера, действующих на токи в диске.
Метод 3. Записано правильное уравнение вращательного движения для диска. Получено уравнение связи заряда конденсатора
Получено уравнение связи заряда конденсатора и угловой скорости диска, эквивалентное .
Получено уравнение гармонических колебаний для , или .
Найдена амплитуда гармонических колебаний или диапазон изменения угловой скорости.
С учётом начальных условий найдена разность фаз между начальным моментом времени и моментом первого достижения максимальной угловой скорости.
Получен правильный ответ для .
Получен правильный ответ для .