Казалось бы, при чём здесь π?

Казалось бы, при чём здесь ?

На гладком горизонтальном столе покоятся два маленьких бруска, массы которых равны и , где - некоторая константа. В момент времени второму бруску сообщают скорость (см. рисунок). Столкновения брусков друг с другом и со стенкой в процессе дальнейшего движения считаются абсолютно упругими.

Пусть ось направлена вправо, координата стенки равна нулю. Проследим за движением брусков, рассмотрев зависимость - координаты второго бруска в некоторый момент времени от координаты первого в тот же момент. Положению брусков, при котором их координаты равны и , соответствует точка с координатами . Со временем координаты брусков изменяются, а точка движется по плоскости .

А) Найдите скорость точки в момент, когда проекции скоростей брусков на ось равны и соответственно. Какой угол составляет вектор скорости точки с осью ? Нарисуйте траекторию движения точки по плоскости для значений масс ().

Введём в рассмотрение координаты , связанные с координатами формулами и . Положению брусков, при котором их координаты равны и , соответствует точка с координатами на плоскости .

Б) Воспользовавшись законом сохранения энергии, покажите, что величина скорости точки сохраняется при абсолютно упругом ударе брусков.

Пусть за мгновение перед столкновением брусков острый угол между прямой, задаваемой уравнением , и скоростью точки равен . Используя законы сохранения импульса и энергии, докажите, что после столкновения брусков острый угол между прямой и скоростью точки также равен .

В) На каком расстоянии от стенки произойдёт пятое столкновение брусков, если параметр равен ?

Г) Сколько раз столкнётся брусок массой с бруском массой и стенкой при ?

Указание. Может оказаться полезной приближённая формула , справедливая при малых ().