Казалось бы, при чём здесь π?
Казалось бы, при чём здесь ?
На гладком горизонтальном столе покоятся два маленьких бруска, массы которых равны и , где - некоторая константа. В момент времени второму бруску сообщают скорость (см. рисунок). Столкновения брусков друг с другом и со стенкой в процессе дальнейшего движения считаются абсолютно упругими.
Пусть ось направлена вправо, координата стенки равна нулю. Проследим за движением брусков, рассмотрев зависимость - координаты второго бруска в некоторый момент времени от координаты первого в тот же момент. Положению брусков, при котором их координаты равны и , соответствует точка с координатами . Со временем координаты брусков изменяются, а точка движется по плоскости .
А) Найдите скорость точки в момент, когда проекции скоростей брусков на ось равны и соответственно. Какой угол составляет вектор скорости точки с осью ? Нарисуйте траекторию движения точки по плоскости для значений масс ().
Введём в рассмотрение координаты , связанные с координатами формулами и . Положению брусков, при котором их координаты равны и , соответствует точка с координатами на плоскости .
Б) Воспользовавшись законом сохранения энергии, покажите, что величина скорости точки сохраняется при абсолютно упругом ударе брусков.
Пусть за мгновение перед столкновением брусков острый угол между прямой, задаваемой уравнением , и скоростью точки равен . Используя законы сохранения импульса и энергии, докажите, что после столкновения брусков острый угол между прямой и скоростью точки также равен .
В) На каком расстоянии от стенки произойдёт пятое столкновение брусков, если параметр равен ?
Г) Сколько раз столкнётся брусок массой с бруском массой и стенкой при ?
Указание. Может оказаться полезной приближённая формула , справедливая при малых ().
Ответ. 1a. , . 1c. . 1d. .
В пункте 1a найдена величина скорости точки .
В пункте 1a верно найден угол, который составляет скорость точки с осью .
В пункте 1a приведён правильный рисунок траектории точки .
Доказано, что величина скорости точки сохраняется при абсолютно упругом ударе брусков.
Доказано, что после столкновения брусков острый угол между прямой и скоростью точки равен углу до столкновения.
В пунктах 1c и 1d верные ответы даже при отсутствии подробных объяснений оцениваются полным баллом.
Если верный ответ в пункте 1c или в пункте 1d не был получен только вследствие вычислительных ошибок, то за этот пункт выставляется 2,5 балла.
Высказывается мысль о том, что движение точки в области между прямыми и подобно распространению светового луча между двумя зеркалами.
Указано, что острый угол между траекторией точки и прямой при -м ударе брусков равен , где , или применяется метод развёртки.