Пизанская башня
( баллов) Черников Ю.А.
Согнутую в виде спирали металлическую полосу можно использовать в качестве пружины кручения, то есть пружины, препятствующей повороту механизмов (см. риc. ). При попытке распрямить или скрутить такую пружина она развивает возвращающий момент сил , пропорциональный углу поворота : , где – постоянный коэффициент жёсткости кручения пружины. Нижний конец лёгкого жёсткого вертикального стержня длиной жёстко скреплён со свободным концом пружины кручения. Внутренний конец пружины закреплён. К верхнему концу стержня прикладывается сила , направленная вертикально вниз.
а) ( балла) При какой максимальной силе вертикальное положение равновесия стержня ещё будет оставаться устойчивым?
б) ( балла) Каким будет угол отклонения, если сила воздействия будет равна = ?
Пизанская башня – один из известнейших памятников архитектуры. Башня отличается тем, что её ось отклонена на некоторый угол от вертикали из-за мягкости грунта под её основанием. Рассмотрим модель башни, стоящей на грунте. Башня представляет собой однородный цилиндр, высотой и диаметром (рис. ), масса единицы длины башни равна . Башня поставлена по центру на жёсткое невесомое квадратное основание со стороной , к которому снизу приклеена поролоновая подушка того же сечения. Высота подушки, после установки на неё башни составляет . Вся конструкция установлена на жёстком столе. Масса распределена по башне однородно. Модуль Юнга поролона равен . Коэффициент трения между башней и основанием можно считать достаточно большим, так что башня не проскальзывает относительно основания.
в) ( балла) При какой минимальной высоте башни она займёт устойчивое наклонное положение?
г) ( балла) При какой минимальной высоте башни она опрокинется? Выразите ответ через и , считая .
Указание . При малой относительной деформации растяжения/сжатия стержня с площадью поперечного сечения сила упругости, возникающая в нём, может быть рассчитана по формуле , где – модуль Юнга материала стержня.
Указание . При ответе на вопросы разных пунктов задачи могут оказаться очень полезными приближённые формулы, справедливые для малых значений ( ≪ ): , .
Решение.
а) Пусть рычаг отклонился от вертикали и находится в состоянии равновесия (рисунок 4).
Тогда сумма моментов сил, действующих на рычаг, будет равна нулю: . Посмотрим на графическое решение этого уравнения. Нарисуем графики зависимости момента сил скручивающего пружину и момента сил упругости от угла . Возможно две ситуации, изображенные на рисунках 5 (a, б).
Рисунок 5. Графическое решение уравнения равновесия рычага. Видно, что в случае малой приложенной силы график синуса лежит ниже прямой и уравнение имеет только одно решение, соответствующее вертикальному положению рычага. При превышении некоторого предела, решений уравнения становится два. При этом вертикальное положение оказывается неустойчивым. Действительно, при малом отклонении от положения равновесия возвращающий момент сил оказывается меньше момента сил, увеличивающего отклонение. Таким образом, при преодолении критической силы положение равновесия окажется наклон енным. Критическую силу легко рассчитать, рассмотрев переходную от рисунка а) к рисунку б) ситуацию. В ней угловой коэффициент обоих графиков в нулевом положении должен совпадать, то есть: = ⇒ .
б) Для нахождения нового положения равновесия можем воспользоваться формулой приближенного исчисления синуса угла: . Сократим выражение на , так как нулевой корень уравнения нас не интересует и решим квадратное уравнение: . Два корня уравнения соответствуют двум возможным положениям отклонения рычага: . в) Рассмотрим теперь модель Пизанской башни, установленной на упругой опоре. Пусть основание башни наклонилось на угол (рисунок 6). Тогда за счет сил упругости возникнет возвращающий момент сил. Рассчитаем его.
Рисунок 6. Наклоненная башня. На расстоянии от осевой линии поролон сожмется на ∙ . Тогда в сечение поролона площадью возникнет сила в соответствии с законом Гука: . Эта сила будет носить вклад в суммарный возвращающий момент сил: . Тогда суммарный момент сил может быть рассчитан как:
То есть для малых углов крутильная жесткость подставки составит: . На наклоненную башню действует момент силы тяжести равный: . Аналогично пункту а) башня выйдет из вертикального положения в случае равенства коэффициента пропорциональности между синусом моментом силы и крутильной жесткости опоры: , Рассмотрим наклонное равновесие башни: . С учётом приближенных формул: . Предельный угол отклонения башни, прежде чем она опрокинется, определяется её высотой и диаметром: . Тогда для расчета критической высоты башни запишем: . Преобразуем уравнение к виду биквадратного: . Рассчитаем дискриминант: . С учетом указанного в условии приближения: . Тогда выберем положительный корень уравнения: И окончательно для длины c учётом приближений:
Составлено уравнение моментов для отклоненного от вертикали стержня.
Проведён анализ уравнения моментов для различных углов отклонения стержня от вертикали.
Получен ответ .
Записано уравнение моментов с учётом приближённой формулы для синуса малого угла
Найден угол отклонения стержня .
Записано выражение для силы упругости в сечении поролоновой подушки площадью , при наклонном положении основания, как функция координаты на горизонтальной оси.
Рассчитан суммарный момент сил, действующих на основание со стороны поролоновой подушки: , где - угол наклона основания относительно горизонта.
Записано выражение для момента силы тяжести башни.
Найдена высота башни : .
Составлено уравнение моментов для отклонённой от вертикали башни.
Написано выражение для предельного угла отклонения башни от вертикали, прежде чем она опрокинется: .
Найдена высота башни : .