Поджатая пружина
Зависимость относительного удлинения поджатой пружины от силы , растягивающей её в невесомости, изображена на графике, представленном ниже (, - начальная длина пружины, - удлинение). Пружина не растягивается, пока выполняется неравенство , если же сила становится больше , то относительное удлинение начинает зависеть от силы по линейному закону , где .
Далее в задаче рассматриваются однородные пружины, для любого участка которых постоянные и такие же, как для исходной пружины длиной . В каждом из пунктов масса пружины обозначается . Коэффициентом упругости поджатой пружины считается коэффициент пропорциональности между изменением силы и удлинением при . Во всех пунктах задачи рассматривается статическое равновесие пружин.
Безразмерные параметры и (разные в разных пунктах задачи) характеризуют относительные жёсткость и силу поджатия пружины, - ускорение свободного падения.
А) От поджатой пружины длиной отрезали участок длиной (в недеформированном состоянии), который стали растягивать силой () в невесомости. Найдите длину этого участка под нагрузкой как функцию силы и параметров , , .
Б) Поджатая пружина, параметры которой удовлетворяют соотношениям , , подвешена в поле тяжести к потолку за один из концов. К другому концу присоединяют груз массой (). Чему будет равна длина пружины в положении равновесия? Ответ выразите через параметры , , .
В) Пусть относительная сила поджатия удовлетворяет неравенству . Пружина подвешена к потолку в поле тяжести за один из концов. Чему равна её длина в положении равновесия? Ответ выразите через параметры , , .
Г) Поджатая пружина подвешена за один конец к потолку. К другому концу присоединяют грузы различной массы, снимая зависимость относительного удлинения от относительной массы грузов ( - масса пружины). Результаты измерений представлены в таблице ниже.
| , % |
Определите относительную жёсткость и относительную силу поджатия этой пружины.
Решение.
А) В условии сказано, что параметры и остаются для любого куска пружины такими же, как для всей пружины, поэтому ответ на первый вопрос даётся формулой
Б) В условиях этого пункта () любой элемент пружины деформируется под нагрузкой. Длину растянутой пружины можно найти, рассуждая следующим стандартным образом. Разделим всю недеформированную пружину на участки небольшой длины , пусть общее количество таких участков . Пусть участок с номером будет самым верхним, тогда участок с номером растягивается силой
где . Подставляя значение силы из формулы (15) в соотношение (14), и заменяя на , на , а на , получаем равенство
Поскольку , определение длины пружины под нагрузкой сводится к интегрированию
Отметим, что интеграл может быть вычислен, как площадь под прямой.
В) В этом пункте часть пружины не растягивается, на неё действует сила, меньшая, чем . Длина этого участка пружины равна
В этом случае формула, дающая связь силы и координаты , аналогичная (15), имеет вид
Длина растягивающейся части пружины равна
Вычисляя интеграл (18), и прибавляя длину нерастягивающейся части пружины (17), получаем ответ
Г) Изучив таблицу, заметим, что при значениях относительной массы груза зависимость линейная. Это означает, что при достаточно больших относительных массах груза все участки пружины удлиняются под нагрузкой (при малых это не так). Рассуждая, как в пункте 4b, получим для больших относительных масс соотношение
из которого (с учётом значений, приведённых в таблице) следует ответ: . Для определения относительной силы поджатия используем результат предыдущего пункта. При из формулы (19) следует соотношение
Подставив найденное значение и в эту формулу, находим второй ответ .
Ответ. 4a. ; 4b. ; 4c. ; 4d. , .
За пункт 4a можно получить или 1 балл или 0 баллов.
В пункте 4b правильное с физической точки зрения решение, приводящее к неверным ответам вследствие вычислительных ошибок, оценивается в 2 балла.
Если в той или иной форме высказывается идея о делении пружины на небольшие участки и суммировании удлинений этих участков, но больше ничего нет, то выставляется 0,5 балла за этот пункт.
Если произведено суммирование (или интегрирование), но допущены принципиальные ошибки, то выставляется 1 балл за весь пункт.
В пункте 4c правильное с физической точки зрения решение, приводящее к неверным ответам вследствие вычислительных ошибок, оценивается в 3 балла.
В пункте 4c высказывается в той или иной форме мысль о том, что часть пружины не растягивается.
В пункте 4c произведено суммирование (или интегрирование), но верный ответ не получен, поскольку допущены ошибки принципиального характера.
В пункте 4d верное определение относительной жёсткости оценивается в 2 балла.
В пункте 4d верное определение относительной силы поджатия оценивается в 1 балл.
Если правильные ответы не получены только вследствие вычислительных ошибок, а в остальном решение абсолютно верное, то ставится 2 балла за весь пункт.
Если при нахождении относительной силы поджатия используется неверная формула, полученная при ответе на вопрос пункта 4c, то оценка за этот пункт не снижается.