Сжатие насыщенного
В теплопроводящем цилиндре под поршнем при температуре окружающей среды находится один моль насыщенного пара воды. Жидкой воды в сосуде нет. Универсальная газовая постоянная и молярная масса воды равны и . Плотность жидкой воды равна .
А) Пусть объём под поршнем очень медленно уменьшается на при постоянной температуре . Пренебрегая объёмом образующейся жидкой воды, определите работы внешних сил, действующих на поршень , а также изменение внутренней энергии содержимого сосуда . Удельная теплота парообразования воды равна . В этой части задачи предполагается ответ в общем виде.
Зависимость давления насыщенного пара от температуры в некотором диапазоне температур даётся в таблицах, представленных ниже. Значения, указанные в этих таблицах, можно считать известными во всех следующих частях задачи.
Б) Определите значение удельной теплоты парообразования при температуре .
В) Пусть состояние моля насыщенного пара воды, взятого при температуре , изменяется таким образом, что пар всё время остаётся насыщенным, при этом его объём уменьшается на . Определите работу внешних сил, действующих на поршень , а также изменение внутренней энергии содержимого сосуда в этом случае.
Г) Представим, что объём моля насыщенного пара, взятого при температуре , уменьшается на адиабатически. Найдите работу внешних сил, действующих на поршень , а также изменение внутренней энергии содержимого сосуда для этого случая.
Указание. На линии насыщения справедливо уравнение Клапейрона-Клаузиуса
где и - изменения давления и температуры на линии насыщения, - удельная теплота парообразования, и - плотности газовой фазы и плотность жидкой фазы вблизи линии насыщения при температуре .
Решение.
А) Поскольку процесс происходит при постоянной температуре, давление под поршнем в процессе сжатия не меняется. Десятая часть количества водяного пара превращается в жидкость. Работа внешних сил
где - количество вещества в сосуде под поршнем. Количество теплоты, выделяющееся при конденсации моля пара, равно
С другой стороны, то же самое количество теплоты равно . Из этих формул следует второй ответ
Б) Удельная теплота парообразования может быть найдена при помощи уравнения Клапейрона-Клаузиуса. Заменив производную отношением конечных разностей, далее применяя уравнение Клапейрона для газовой фазы, имеем
Легко видеть, что второе слагаемое на порядков меньше первого, так что им можно пренебречь. В итоге имеем соотношение
Вычисляя разность давлений для температур и , получаем ответ .
В) Преобразуем первое начало термодинамики, используя соотношение , следующее из уравнения Клапейрона:
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса с учётом малости удельного объёма может быть преобразовано к виду
Подставим из равенства в соотношение. После преобразований получится формула для молярной теплоёмкости насыщенного пара
Для небольшом по сравнению с температурой изменении температуры , как следует из формулы, количество подведённой теплоты приближённо равно
Получится, что уменьшению объёма на соответствует увеличение температуры на . Подставляя в формулу , , , , получаем для количества теплоты значение . Изменение внутренней энергии равно . Комбинируя формулы, получаем из первого начала термодинамики ответ .
Г) Сначала сделаем оценку и поймём, остаётся пар насыщенным при адиабатическом уменьшении объёма или нет. Предположим, что пар становится ненасыщенным, тогда будем рассматривать его, как идеальный газ. Показатель адиабаты для многоатомного газа равен , поэтому уравнение адиабаты для водяного пара может быть записано в виде
Значение температуры при уменьшении объёма на равно
Теперь, используя найденное значение , можно найти изменение внутренней энергии ненасыщенного пара
Работа внешних сил равна изменению внутренней энергии: .
Ответ. А) , . Б) . В) , . Г) .
Найдено верное выражение для работы внешних сил .
Найдено верное выражение для изменения внутренней энергии .
Получена формула или аналогичная.
Получена формула или аналогичная.
Найдено значение удельной теплоты парообразования, попадающее в интервал .
Предлагается непротиворечивый способ расчёта искомых величин, который в случае аккуратной реализации приводит к правильным ответам.
Найдено значение изменения внутренней энергии, попадающее в интервал .
Найдено значение работы, попадающее в интервал .
Указывается, что при адиабатическом сжатии пар становится ненасыщенным и его состояние меняется в соответствии с уравнением адиабаты для идеального газа.
Найдена температура в конечном состоянии или изменение температуры.
Найдено значение изменения внутренней энергии, попадающее в интервал .
Найдено значение работы, попадающее в интервал .