МОШ 2026, 11 класс, задача 2
В вертикальном цилиндре под поршнем массой , способным двигаться вдоль его оси без трения, находится молей идеального газа. Давление и температура окружающего воздуха равны и , площадь сечения цилиндра - . Удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме равна . Теплоёмкостью цилиндра и поршня можно пренебречь. Первоначально система находится в равновесии, температура газа равна .
- Считая процессы в газе квазистатическими, определите циклическую частоту малых свободных колебаний поршня в двух случаях: при поддержании постоянной температуры газа () и в условиях полной теплоизоляции цилиндра ().
- Пусть теперь цилиндр не изолирован. Мощность теплопередачи вследствие теплообмена между газом под поршнем и окружающим воздухом задаётся выражением:
где - температура газа, - известный коэффициент.
Под действием периодической внешней силы поршень совершает малые вынужденные колебания по закону:
где - отклонение поршня от положения равновесия, ось направлена вверх. Через некоторое время после начала действия силы устанавливаются малые гармонические колебания разности температур . Определите амплитуду этих колебаний и разность фаз между колебаниями разности температур и вертикальной координаты поршня.
Записано условие равновесия поршня и определено равновесное давление газа: .
Записано уравнение второго закона Ньютона для поршня при малом отклонении : .
Получена связь и для изотермического случая (): .
Получена связь и для адиабатического случая (): .
Выражен равновесный объём газа через уравнение Менделеева — Клапейрона: .
Составлено дифференциальное уравнение гармонических колебаний для изотермического случая.
Получена верная формула для частоты изотермических колебаний .
Составлено дифференциальное уравнение гармонических колебаний для адиабатического случая.
Получена верная итоговая формула для частоты адиабатических колебаний .
Записано первое начало термодинамики в дифференциальной форме или через мощности: .
Учтено выражение для мощности теплопередачи: .
Получено выражение мощности теплоотвода через производную по времени.
Обосновано выражение для мощности работы газа через равновесные параметры: .
Получено дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для температуры.
Все члены уравнения выражены через гармонические функции времени (установившийся режим).
Предлагается использование при решении уравнения (метод комплексных амплитуд или векторных диаграмм).
Получено верное выражение для амплитуды колебаний температуры .
Определена разность фаз между температурой и координатой поршня.