Токи и заряды
Внутри соленоида, ось которого вертикальна, располагается плоская проволочная сетка размером ячейки. Ось соленоида перпендикулярна плоскости сетки и проходит через её центр (см. рисунок слева). Сопротивление перемычки, соединяющей два соседних узла, равно . В соленоиде создаётся магнитное поле, направленное так, как показано на рисунке. Сила тока в витках соленоида равномерно увеличивается со временем, так что абсолютная величина скорости изменения магнитного потока через ячейку сетки оказывается равна .
А) Определите значения токов, текущих в перемычках, соединяющих узлы сетки. Сделайте рисунок, укажите направления этих токов.
Б) Все перемычки на границе сетки заменили на конденсаторы одинаковой ёмкости (см. рисунок справа). Найдите напряжения на конденсаторах.
Решение.
При повороте в плоскости рисунка вокруг оси соленоида на угол, кратный (в любую сторону), схема переходит сама в себя. Отсюда следует, что по проводникам центральной ячейки текут одинаковые токи или, другими словами, по проводникам центральной ячейки циркулирует ток . Для определения этого тока можно записать закон электромагнитной индукции только для центральной ячейки, как будто всей остальной сетки не существует, тогда направление тока - против часовой стрелки - следует из правила Ленца. Значение тока даётся формулой
В каждом узле, лежащем в вершине центральной ячейки, соединяются перемычки, по двум из которых текут токи , причём один из них втекает в узел, а другой вытекает. Следовательно, по двум другим перемычкам тоже текут одинаковые токи, один из которых втекает в узел, а второй - вытекает. Обозначим эти одинаковые токи . Сделаем рисунок, на котором укажем направления токов в перемычках сетки, используя соображения «поворотной симметрии»: при повороте вокруг оси соленоида на угол, кратный , картина распределения токов не должна изменяться.
Легко видеть, что в результате имеем неизвестных тока: , , . Вообще говоря, направления этих токов могут быть выбраны произвольно, например так, как показано на рисунке. Если в процессе решения значение какого-либо из токов окажется отрицательным, это будет означать, что истинное направление этого тока противоположно указанному на рисунке.
Записывая для узла, помеченного окружностью на рисунке, первое правило Кирхгофа, имеем соотношение
Второе правило Кирхгофа для контура даёт c учётом равенства (6) уравнение
Аналогично, второе правило Кирхгофа для контура даёт равенство
подставляя в которое ток из формулы (5), получаем уравнение
Система уравнений (6)-(8) имеет решение
Все значения в (9) получились положительными, следовательно направления токов на рисунке соответствуют реальности.
Во втором пункте, после замены перемычек на границе на конденсаторы, ток течёт только по проводникам центральной ячейки, этот ток равен . Будем считать полярность зарядов на обкладках конденсаторов такой, как обозначено на рисунке.
Напряжения на конденсаторах, располагающихся в угловых ячейках, одинаковы и равны , поскольку сумма напряжений на этих конденсаторах должна быть равна (с точностью до знака) скорости изменения магнитного потока через ячейку. Сумма напряжений на всех конденсаторах должна быть равна абсолютной величине скорости изменения магнитного потока через все ячейки сетки.
Таким образом, для определения напряжения имеем уравнение
решая которое получаем ответ .
Ответ. 2a. , , , ; направления токов показаны на первом рисунке, приведённом в решении задачи. 2b. , .
Если участник решал задачу, считая, что поток магнитного поля есть только через центральную ячейку сетки, а другие ячейки находятся вне области магнитного поля, то такое решение оценивается из расчёта 3 балла за всю задачу.
При этом верные ответы для токов оцениваются в 2 балла, а правильно найденные напряжения конденсаторов - в 1 балл.
В пункте 2a предполагается 4 ответа. Любой из верных ответов оценивается в 1 балл.
Если получен неверный ответ, но только вследствие вычислительных ошибок или невнимательности, то это приводит к снижению оценки за этот ответ на 50%.
Если токи найдены верно, но их направления (все, или для некоторых токов) указаны неверно, то такие ответы оценивают в 3 балла за этот пункт.
Если ответы не получены (или получены, но неверны) вследствие принципиальных ошибок, однако в решении высказываются разумные мысли об использовании соображений симметрии, например указывается, что неизвестных токов 4, то это оценивается в 0,5 балла.
В пункте 2b предполагается 2 ответа. Верно найденное напряжение конденсаторов в угловых ячейках () оценивается в 1 балл.
Верно найденное напряжение конденсаторов в средних ячейках () оценивается в 2 балла.
Если неверный ответ является следствием только неверного определения тока при ответе на вопрос пункта 1a, то такой ответ оценивается полным баллом.