Ловушка Пеннинга

Ловушкой Пеннинга называется один из типов ионных ловушек - устройств, используемых в экспериментах по ядерной физике для удержания заряженных частиц и ядер в некоторой ограниченной области пространства в течение длительного (по меркам микромира) времени. В этой ловушке мощным электромагнитом создаётся однородное магнитное поле , которое можно считать направленным против оси системы координат с началом в центре ловушки (, , ), кроме того, системой металлических электродов создаётся электрическое поле с потенциалом

где и - известные постоянные, а и - неизвестные безразмерные константы, причём . Оказывается, в полях такого вида положительно заряженная частица движется сложным образом. Вдоль оси частица совершает гармонические колебания с некоторой частотой около начала координат. Проекция траектории частицы на плоскость представляет собой эпитрохоиду. Это линия, которую описывает точка, движущаяся по окружности радиуса с постоянной угловой скоростью , при том что центр этой окружности движется по окружности большего радиуса () с меньшей угловой скоростью . Здесь и далее имеются в виду угловые скорости относительно лабораторной системы отсчёта. Примеры эпитрохоид, для которых центр большей окружности находится в начале координат, можно видеть на рисунке ниже.

Далее везде речь идёт о движении частицы с известными массой и положительным зарядом . Параметры , и также считаются известными во всех частях задачи, кроме части В.

А) Получите формулы для проекций , и вектора напряжённости электрического поля на оси системы координат и найдите отношение безразмерных коэффициентов и в выражении для потенциала электростатического поля.

Внимание! Если вы не получили в части А отношение , можете приступить к решению части В, считая это отношение известным параметром.

Б) Пусть задан коэффициент . Определите частоту колебаний , а также циклотронную частоту вращения частицы в магнитном поле при отсутствии электрического.

В) Выразите угловые скорости вращения частицы и по окружностям, дающим траекторию в виде эпитрохоиды, через параметры и (); - угловая скорость движения по окружности радиусом , - угловая скорость вращения центра этой окружности. Радиусы окружностей и неизвестны. На рисунке выше ось направлена на читателя, движение по обеим окружностям происходит в направлении против часовой стрелки.

Г) Для траектории в виде большей эпитрохоиды на рисунке выше (линия чёрного цвета), используя результаты предыдущих частей, определите безразмерные коэффициенты и в выражении для потенциала электростатического поля.