С двумя батарейками
В цепи, схема которой изображена на рисунке, представленном ниже, параметры , , известны. Сопротивление соединительных проводов и катушки равно нулю. Внутреннее сопротивление батареи и сопротивление резистора удовлетворяют соотношениям
Изначально переключатель П находится в положении , при этом в цепи установился стационарный режим. Напряжение на конденсаторе, соединённом с клеммой , равно нулю. В момент времени переключатель мгновенно переводят в положение .
А) Определите, в какой момент времени ток через катушку впервые изменит направление.
Б) Какое количество теплоты выделится в цепи за очень большое время после перевода ключа в положение .
Решение
А) После перевода переключателя в положение 2 за очень короткое время (порядка ) произойдёт перезарядка конденсаторов, так что напряжение на каждом из них станет равно , обкладки конденсаторов, обращённые к клемме 2, будут заряжены отрицательно. Действительно, батареи, конденсаторы и катушка образуют колебательный контур, в котором будут происходить слабо затухающие колебания. Характерное время изменения тока через катушку при возникающих колебаниях равно (по порядку величины) . Из условия следует, что , поэтому ток через катушку не успевает измениться за время быстрой перезарядки конденсаторов. Таким образом, в начальный момент через катушку течёт ток , такой же, как до перевода переключателя в положение 2.
В колебательном процессе в каждый момент времени токи, текущие через батарейки, будут одинаковыми, при этом через катушку будет течь ток вдвое больший: . Запишем уравнение обхода (второе правило Кирхгофа) для контура, содержащего катушку и одну из батарей:
(6)
Затухание колебаний происходит за время порядка , которое благодаря сильному неравенству, данному в условии, оказывается значительно больше периода колебаний, равного по порядку величины . Таким образом, для ответа на вопрос пункта А) задачи достаточно рассмотреть вместо уравнения (6) уравнение колебаний без затухания
Общее решение этого уравнения даётся формулой
(7)
где , параметры и определяются из начальных условий. Ток через катушку равен удвоенной производной заряда, поэтому из формулы (7) следует зависимость
(8)
Для нулевого момента из начальных условий и зависимостей (7) и (8) имеем систему уравнений
Решая систему, получаем уравнение
(9)
для определения начальной фазы. По условию , поэтому уравнение (9) имеет решение . Из формулы (8) следует, что направление тока изменяется в момент времени , удовлетворяющий соотношению
Таким образом, имеем ответ: .
Б) Количество теплоты можно найти, используя закон сохранения энергии, записанный в виде соотношения
(10)
Когда в цепи установится стационарный режим, ток через катушку течь не будет, а конденсаторы будут заряжены до напряжения , поэтому изменение энергии конденсаторов в процессе перезарядки и затухания колебаний равно
(11)
изменение энергии магнитного поля катушки даётся формулой
(12)
При выводе формулы (12) использовалось соотношение , следующее из условия. Одна из батарей в процессе установления стационарного режима перемещает нулевой заряд, другая перемещает заряд , поэтому суммарная работа ЭДС из формулы (10) равна
(13)
Подставляя выражения (11), (12) и (13) в уравнение, отражающее закон сохранения (10), находим количество теплоты
Ответ: А) ; Б) .
Указано (возможно, неявно), что после перевода переключателя в положение 2 сначала происходит быстрая перезарядка конденсаторов, а затем начинаются слабозатухающие колебания.
Верно найдены значения зарядов конденсаторов сразу после быстрой перезарядки .
Верно указана полярность зарядов конденсаторов сразу после быстрой перезарядки: обкладки, обращённые к клемме 2, заряжены отрицательно.
Указывается (возможно, неявно), что ток через катушку после перевода переключателя в положение 2 остаётся таким же, как до переключения.
Найдено верное значение тока через катушку в начальный момент .
Указывается, что в процессе колебаний в любой момент времени токи через батарейки равны половине тока через катушку.
Записывается верное уравнение колебаний в виде или аналогичном.
Записано общее решение уравнения колебаний без учёта начальных условий в виде или аналогичном.
Составлены уравнения для определения констант с использованием начальных условий.
Получена верная зависимость с учётом начальных условий.
Верно найдено время .
Записан закон сохранения энергии в виде формулы или аналогичной.
Верно найдено изменение энергии конденсаторов .
Верно найдено изменение энергии катушки .
Верно подсчитана работа батареи .
Получен верный ответ .