Аналогии
А) В вакууме, в области, где нет зарядов и токов, электрическое и магнитное поля описываются одинаковыми с математической точки зрения дифференциальными уравнениями (с точностью до знаков и постоянных множителей), поэтому картины линий этих полей вдали от источников очень похожи. Например, напряжённость поля точечного электрического диполя ( - дипольный момент) в точке с радиус-вектором даётся формулой
которая превращается в формулу для индукции магнитного поля витка с током при замене: , , ; - магнитный момент витка площадью с током , - вектор единичной нормали к плоскости витка.
Рассмотрим соленоид с количеством витков () длиной , намотанный достаточно тонким проводом виток к витку на полый цилиндрический немагнитный сердечник с радиусом основания (). По виткам соленоида течёт ток .
А1) На большом расстоянии от витков соленоида его поле эквивалентно полю двух фиктивных магнитных зарядов, расположенных на торцах соленоида. Найдите модуль магнитного заряда любого из торцов соленоида.
А2) Чему равна индукция магнитного поля соленоида в точке (см. рисунок) на расстоянии (, ) от его оси?
А3) Найдите индукцию магнитного поля соленоида в точке, лежащей вне соленоида на его оси на расстоянии () от его торца.
Б) Аналогию можно развить, обратив внимание на то, что напряжённость вихревого электрического поля, порождаемого изменяющимся магнитным полем бесконечного соленоида, на расстоянии, много большем радиуса соленоида, описывается соотношением, очень похожим на формулу для индукции магнитного поля прямолинейного провода с током на расстоянии от него.
Б1) Найдите напряжённость вихревого электрического поля на расстоянии от оси очень длинного цилиндрического соленоида радиусом (), магнитное поле в котором изменяется с известной скоростью .
Тонкую цилиндрическую трубку с радиусом основания и длиной () из немагнитного материала согнули в кольцо, на которое после намотали () витков тонкого провода виток к витку, так что получилась тороидальная катушка. Выводы катушки подключили к специальному источнику напряжения, в итоге ток в катушке в зависимости от времени начал изменяться по закону , где - известная постоянная.
Б2) Определите напряжённость вихревого электрического поля в центре тора.
Б3) На главной оси тора на расстоянии от него () располагается точечный заряд . Какая сила действует на заряд со стороны вихревого электрического поля?
Ответ. А1) ; А2) ; А3) . Б1) ; Б2) ; Б3) .
Оценивать решения предлагается на основе распределения баллов, данного в условии, с учётом следующих дополнительных соображений.
Во всех частях задачи правильное с физической точки зрения решение, приводящее к неверным ответам вследствие вычислительных ошибок, оценивается в от максимального количества баллов за соответствующий ответ.
Верные ответы на вопросы любой части задачи оцениваются полным баллом вне зависимости от того, как они получены.
В части А неверный ответ на вопрос А2 или А3, являющийся следствием только неправильного определения магнитного заряда в А1, оценивается полным баллом.
Верными в А2 или А3 считаются ответы, полученные в любом приближении по малому параметру или .
Если в А2 высказано предложение использовать формулу для определения индукции поля фиктивного магнитного заряда , но больше ничего не сделано, то за А2 выставляется балл.
Аналогично оценивается вопрос А3.
В части Б неверный ответ на вопрос Б2 или Б3, являющийся следствием только неверно установленной аналогии между током и скоростью изменения магнитного потока, оценивается из расчёта балла за ответ.
Записана верная формула для индукции магнитного поля внутри тороидальной катушки.
В Б2 записана верная формула для определения магнитного поля в центре витка с током .
В Б3 записана точная формула или приближённая формула для индукции магнитного поля на оси витка с током.