Диэлектрический гистерезис
В плоском нелинейном конденсаторе пространство между обкладками заполнено нелинейным диэлектриком, поэтому зависимость заряда конденсатора от напряжения между обкладками может быть более сложной, чем в линейном случае, для которого . При циклическом изменении напряжения зависимость для нелинейного конденсатора имеет вид петли гистерезиса.
А) Для изучения свойств нелинейного конденсатора собрали цепь, изображённую на рисунке.
Ёмкость обычного (линейного) эталонного конденсатора удовлетворяет сильному неравенству , где и - расстояние между обкладками нелинейного конденсатора и их площадь. Сопротивления резисторов подобраны так, что выполняется равенство
На вход цепи подаётся гармоническое напряжение . К точкам и подключены выводы пластин осциллографа, отклоняющих луч по горизонтали и вертикали соответственно. На экране осциллографа наблюдается зависимость напряжения между точками и от напряжения между точками и , изображённая на рисунке. Подключение осциллографа не меняет распределение токов и потенциалов в цепи.
Определите напряжённость поля в диэлектрической пластине, а также абсолютную величину поверхностной плотности поляризационных зарядов на одной из сторон пластины (соприкасающейся с обкладкой конденсатора) в точках графика, помеченных буквами , , . Параметры нелинейного конденсатора и , ёмкость эталонного конденсатора, а также обозначенные на графике параметры петли , , считаются известными. Электрическая постоянная равна .
Б) Другой нелинейный конденсатор подключают последовательно с резистором сопротивлением к генератору прямоугольных импульсов с частотой , напряжение между выводами которого в течение первой половины периода равно , а в течение второй половины периода равно . В установившемся режиме заряд одной из обкладок конденсатора в зависимости от напряжения между обкладками изменяется так, как показано на графике, приведённом на рисунке ниже.
Параметры петли гистерезиса, обозначенные на графике, равны , , , . Значения и известны, при этом . Найдите среднюю за период мощность, потребляемую цепью от генератора и среднюю мощность, выделяющуюся на резисторе. Ответы выразите через параметры , , .
Решение.
А) Сначала рассмотрим точку графика зависимости . Справедливы соотношения:
где - заряд эталонного конденсатора, - напряжённость поля в диэлектрической пластине в данный момент. Из условия следует сильное неравенство
поэтому второе уравнение из (20) можно переписать так
Таким образом, напряжение в точке пропорционально заряду эталонного конденсатора, а следовательно (поскольку заряды конденсаторов равны) и заряду нелинейного конденсатора. Напряжение в точке пропорционально напряжению на нелинейном конденсаторе. Подставляя в формулу (22) соотношение из условия, имеем искомую напряжённость
Поверхностная плотность поляризационных зарядов найдётся из соотношения
Подставим в это соотношение заряд из первого уравнения из (20), а напряжённость поля из формулы (23), после несложных преобразований получим ответ
Теперь рассмотрим точку . Легко видеть, что сумма напряжений на нелинейном и обычном конденсаторе в состоянии, соответствующем этой точке на графике, равна нулю. Этот факт отражает уравнение
ведь заряд нелинейного конденсатора в этом случае равен (с точностью до знака). Из условия следует сильное неравенство , поэтому пренебрегая последним слагаемым в уравнении (24), получаем искомую поверхностную плотность
Наконец рассмотрим состояние диэлектрика, соответствующее точке . Заряды конденсаторов в этом состоянии, очевидно, равны нулю, поэтому напряжённость поля в диэлектрике создаётся только поляризационными зарядами, следовательно справедливо равенство
Используя соотношение для сопротивлений, данное в условии, из равенства (25) имеем ответы:
Б) Сильное неравенство , приведённое в условии, означает, что время, за которое заряды на обкладках конденсатора устанавливаются, значительно меньше периода колебаний напряжения.
Пусть в некоторый момент времени напряжение на выводах генератора и на конденсаторе равно . При изменении полярности напряжения на выводах генератора, последний перемещает заряд , совершая работу . При обратном изменении полярности на выводах генератора, он совершает такую же работу по перемещению заряда. Таким образом, за период генератор совершает работу , следовательно средняя мощность, потребляемая цепью от генератора равна .
Заметим, что если бы зависимость заряда конденсатора от напряжения на нём была бы линейной (), то вся мощность, потребляемая цепью от генератора, выделялась бы в виде тепла на резисторе. В случае нелинейного конденсатора часть работы, совершаемой генератором, тратится на «переполяризацию диэлектрика». При увеличении заряда нелинейного конденсатора от значения до значения электрические силы совершают работу равную , численно эта работа равна площади половины петли гистерезиса, располагающейся справа от оси ординат. Очевидно, что работа электрических сил по перезарядке конденсатора за период равна площади всей петли гистерезиса - это и есть потери энергии на переполяризацию диэлектрика.
Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что на резисторе за период выделяется количество теплоты равное . Определение , как уже было сказано, сводится к расчёту площади петли гистерезиса, которая может быть найдена разными способами. Приведём здесь конечный ответ . Таким образом, искомая мощность равна .
Ответ. 5a. , , ; , . 5b. , .
Пункт 5a предполагает пять ответов. Каждый из верно найденных ответов оценивается в 1 балл вне зависимости от того, каким способом он был получен.
При этом для верными считаются оба ответа: и .
Правильное с физической точки зрения решение, приводящее к неверному ответу вследствие вычислительных ошибок, оценивается в 50% от максимального количества баллов за соответствующий ответ.
Если ни один верный ответ не был получен, однако решение содержит отдельные разумные утверждения, то такое решение даёт оценку 0,5 за весь пункт.
В пункте 5b верный ответ на первый вопрос (о средней мощности генератора) оценивается в 2 балла.
В пункте 5b верный ответ на второй вопрос оценивается в 5 баллов.
Если на первый вопрос дан неверный ответ вследствие вычислительных ошибок или невнимательности (например, дан ответ в два раза меньше верного), то за этот вопрос выставляется 1 балл.
Если верный ответ на второй вопрос не найден только вследствие ошибки при вычислении мощности, потребляемой от генератора, второй вопрос оценивается полным баллом.
Высказана мысль о том, что мощность, выделяющаяся на резисторе, равна разности мощности генератора и мощности потерь на переполяризацию в диэлектрике.
Указывается (тем или иным образом), что потери на переполяризацию за период численно равны площади петли гистерезиса.
Верное вычисление площади петли.