Инженерная олимпиада 2022, 11 класс, задача 2
В дифференциалах автомобилей и автоматических коробках передач используются системы шестерней, в которых отсутствуют жесткие кинематические связи - планетарные передачи. Рассмотрите модель планетной передачи, в которой кривошип (рычаг, вращающийся вокруг одного из своих концов) вращается вокруг оси неподвижного зубчатого колеса . Колесо имеет зубьев, колесо - зубьев. Сколько оборотов вокруг своей оси совершит колесо , когда кривошип совершит оборотов вокруг оси ?
Поскольку зубья колес одинаковы, то длина окружности и радиус большого колеса в три раза превосходят длину окружности и радиус малого:
Пусть в начальный момент времени колеса касались так, как это показано на левом рисунке и пусть за некоторый момент времени кривошип повернулся на угол (правый рисунок).
Тогда нижняя точка малого зубчатого колеса пройдет путь . И следовательно, радиус малого колеса, направленный в точку касания с большим колесом в первый момент времени, повернется на угол по отношению к новому положению точки касания (см. рисунок; соответствующий радиус малого колеса показан на рисунке пунктиром). А поскольку сама точка касания повернется на угол , то поворот малого колеса составит угол .
Когда кривошип сделает полный оборот (повернется на угол ) малое колесо повернется на угол , т.е. сделает четыре оборота вокруг своей оси. Следовательно, если кривошип сделает оборотов вокруг центра большого колеса, то малое колесо сделает оборотов вокруг своей оси.
Правильная связь радиусов колес – 0,5 балла.
Правильный метод нахождения поворота малого колеса – равенство длин дуг большого и малого колес между двумя парами точек касания колес – 0,5 балла.
Правильная связь углов поворота – 0,5 балла.
Правильный ответ – 0,5 балла.