Покори Воробьевы горы 2022, 10 класс, задача 2
Вопрос: Температура с точки зрения молекулярно-кинетической теории. Абсолютная шкала температур.
Задача: Постоянное количество гелия участвует в процессе, диаграмма которого в координатах плотность газа - температура изображается участком прямой (см. рисунок). Во сколько раз максимальное давление гелия в этом процессе больше минимального? Координаты точки : , точки : .
Ответ
Ответ на вопрос: Исходно температура определялась эмпирически как «мера нагретости» тела. Для измерения температуры тела оно приводится в тепловое равновесие с термометром - стандартным телом с индикацией температуры, проградуированным в соответствии с некоторой температурной шкалой по двум «реперным» точкам. Например, для градуировки термометра по шкале Цельсия температура плавления льда при нормальном атмосферном давлении принимается за C, а температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении принимается за C. Между этими точками шкала разделяется на градусы равномерно, и от них в обе стороны распространяется с таким же шагом. В рамках МКТ прекращение (в среднем) обмена энергий между молекулами тела и термометра при соударениях означает, что средние кинетические энергии молекул совпадают. Поэтому температура тела в любой разумной шкале должна быть монотонной функцией от средней кинетической энергии его молекул . Значит, и сама может рассматриваться как температура, измеренная по некоторой шкале (такую температуру называли «термодинамической»). При использовании газовых термометров было обнаружено, что изменение объема газа с хорошей точностью является линейной функцией его температуры по шкале Цельсия, причем для разных количеств разных газов при экстраполяции графиков в область «очень низких» температур температура обращения объема в ноль оказывается примерно одинаковой - около C. Эта температура была названа «абсолютным нулем», и была введена в использование абсолютная шкала температур (шкала Кельвина), в которой начало отсчета K совмещалось с абсолютным нулем, а один градус этой шкалы приравнен к градусу шкалы Цельсия. С точки зрения МКТ абсолютный ноль интерпретируется как температура, при которой прекращается тепловое движение молекул. Изучение свойств газов и развитие статистических методов позволило установить, что термодинамическая и абсолютная температура для любого вещества пропорциональны друг другу: в соответствии с тепловой теоремой Больцмана, в состоянии теплового равновесия при абсолютной температуре в молекулярной системе на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится энергия, равная , где постоянная Больцмана выражается через универсальную газовую постоянную и число Авогадро . Сейчас известно, что молекулы являются квантовыми объектами - их движение не описывается корректно законами механики Ньютона, и на самом деле состояние покоя для них невозможно. Поэтому состояние вещества с температурой, равной абсолютному нулю, определенное как состояние с неподвижными молекулами, принципиально невозможно.
Решение задачи: Используя для гелия приближение идеального газа, можно выразить его давление через плотность и температуру:
Из вида диаграммы (с учетом информации из условия) можно установить, что ее уравнение - это
Значит, зависимость давления гелия от его температуры в данном процессе описывается выражением
Ясно, что это квадратичная зависимость (график - парабола ветвями вниз), и ее максимум лежит посередине между корнями, то есть в точке . Значит, максимальное значение давления в этом процессе, равное
достигается внутри интервала изменения температуры. Ясно (при удалении в обе стороны от этой точки давление падает), что минимальное значение достигается на одной из границ интервала. Сравнивая
находим, что . Таким образом,
Ответ: .