Покори Воробьевы горы 2025, 9 класс, задача 2
Вопрос: Мокрый снег - смесь жидкой воды и ледяных кристаллов, находящихся в равновесии. Чему равна температура мокрого снега при нормальном атмосферном давлении по шкале Цельсия?
Задача: Калориметр наполовину заполнен водой с температурой . В него засыпают порцию мокрого снега, объем которой равен объему свободного от воды пространства, а потом ожидают наступления теплового равновесия. Так поступают до тех пор, когда очередная порция снега растает не полностью. Известно, что у используемого снега объемная доля льда составляет . Сколько порций будет в итоге засыпано в калориметр? На сколько процентов будет заполнен объем калориметра после этого? Теплообменом содержимого калориметра с окружающей средой пренебречь. Плотность льда составляет от плотности жидкой воды, удельная теплоемкость воды /(г\times{}^\circ\text{C}), удельная теплота плавления льда /г.
Ответ на вопрос: Одной из реперных точек шкалы Цельсия, отвечающая , является температура, при которой лед и вода находятся в равновесии при нормальном атмосферном давлении. Это означает, что температура мокрого снега при таком давлении и есть .
Решение задачи: Пусть - объем калориметра, а объем воды в термосе после досыпаний снега и установления равновесия равен . Ясно, что объем досыпаемого в -ый раз снега равен
а его масса
Таким образом,
Как видно, мы имеем дело с геометрической прогрессией, то есть
или
Запишем теперь условие установления равновесия после досыпания -ой порции снега: лед тает, и вода, полученная из снега, нагревается до конечной температуры - все за счет остывания имевшейся в калориметре воды до конечной температуры:
Разделив это соотношение на и перегруппировав слагаемые, получаем
где
По условию и
Как видно из полученных формул, заполнение калориметра с ростом очень быстро приближается к , а температура содержимого - к , так что итераций будет немного. Последней итерацией будет та, на которой в соответствии с полученной формулой (так как это означает, что запаса теплоты у имевшейся воды не хватает на плавление всего льда и нагрев воды из снега до положительной температуры). Итак:
Таким образом, в итоге в калориметр будет засыпано две порции мокрого снега, и после установления равновесия калориметр будет заполнен водой на своего объема.
Ответ: Две порции, на объема.
Примечание: Участники не должны выводить общие рекуррентные формулы. Можно использовать последовательное рассмотрение итераций - ясно, что таким путем тоже можно дойти до правильного ответа за не слишком большое время.
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
указано (используется в решении), что после таяния порции досыпанного снега калориметр заполнен не до конца
указано, что каждый раз в процессе установления равновесия лед тает, и вода, полученная из снега, нагревается до конечной температуры - все за счет остывания имевшейся в калориметре воды до конечной температуры
указано, что последней является итерация, на которой запаса теплоты у имевшейся воды не хватает на плавление всего льда и нагрев воды из снега до положительной температуры
для всех анализируемых итераций правильно вычислена масса добавляемого снега
правильно определено, как происходит рост занятого объема на первой и второй итерациях
правильно определена температура воды после первой итерации
доказано, что вторая итерация является последней