Ломоносов 2024, 11 класс, задача 3
Два одинаковых металлических заряженных шара радиуса находятся на большом расстоянии друг от друга. Один из шаров расположен при этом внутри сферической проводящей заземленной оболочки радиуса так, что их центры совпадают. Через небольшое изолированное отверстие в этой оболочке шары соединяют тонкой длинной проволокой. В результате на шарах устанавливаются заряды , . Чему равен радиус оболочки ?
Ответ
Решение. После перераспределения зарядов потенциалы шаров выровняются. Обозначим их и , причём . Потенциал первого шара , заключенного в оболочку, складывается из потенциала поля, созданного самим шаром на его поверхности и потенциала поля, которое создаёт оболочка в том месте, где находится шар:
Поскольку оболочка проводящая и соединена с практически бесконечным источником зарядов, на её внутренней поверхности индуцируется заряд равный по модулю заряду шара внутри и противоположный ему по знаку. Если заряд первого шара стал равным , то заряд оболочки и, следовательно,
Потенциал второго шара
Теперь мы можем записать равенство:
Отсюда получаем ответ задачи
Ответ.