Ломоносов 2022, 10-11 класс, задача 3
Маленький шарик массой г, несущий заряд Кл, надет на гладкую непроводящую спицу, расположенную горизонтально. С помощью легкой непроводящей пружины шарик связан с неподвижной опорой. На одном горизонтальном уровне с этим шариком и в той же вертикальной плоскости закреплен второй маленький шарик, несущий заряд (см. рисунок). В положении равновесия расстояние между шариками равно см. Когда подвижный шарик сместили от положения равновесия на малое расстояние и отпустили, он стал совершать гармонические колебания с частотой Гц. Найдите жесткость пружины . Электрическая постоянная Ф/м.
Указание. При расчетах воспользуйтесь приближенной формулой , справедливой при .
Вопросы. Дайте определение напряжённости электрического поля. Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей.
Ответ
Решение. В положении равновесия шарика пружина растянута на величину , которую можно найти, используя закон Гука и закон Кулона, а именно
Совместим начало координат с положением шарика в состоянии равновесия и направим координатную ось вправо. По второму закону Ньютона имеем:
где - смещение шарика от положения равновесия, а точками обозначена вторая производная по времени. Учитывая, что , преобразуем последнее слагаемое следующим образом:
В итоге уравнение движения шарика принимает вид:
Следовательно, шарик совершает гармонические колебания с круговой частотой
Отсюда
Ответ: Н/м.