Магнитики
Как-то раз в руках у экспериментатора Глюка оказались стопка из шести мощных одинаковых магнитов, разделённых одинаковыми картонными прокладками, и высокоточный термометр. Дело оставалось за малым — провести какой-нибудь эксперимент. Не придумав ничего лучше, Глюк включил лабораторную электроплитку и прикрепил стопку магнитов к её боковой поверхности, затем стал измерять температуру крайнего (дальнего от плитки) магнита.
Спустя некоторое время его температура перестала изменяться и оказалась равной , а температура соседнего магнита оказалась равной . Также Глюк измерил радиус магнита и его высоту (толщину) .
Определите температуру остальных магнитов и температуру плитки.
Считайте, что:
- магниты обладают высокой теплопроводностью, поэтому температура магнита одинакова во всех его точках;
- температура воздуха одинакова во всех точках вблизи магнитов и равна ;
- между магнитом и плиткой картонная прокладка отсутствует;
- теплоотдача в окружающую среду пропорциональна разности температур цилиндра и воздуха и пропорциональна площади контакта магнита с воздухом;
- поток тепла через картонный диск пропорционален разности температур его поверхностей и пропорционален площади диска.
Возможное решение.
Перенумеруем цилиндры, присвоив номер самому дальнему от поверхности плитки цилиндру. Пусть — превышение температуры цилиндра с номером над температурой воздуха. Тогда поток тепла от первого цилиндра в окружающую среду определяется выражением
Здесь — площадь поверхности первого цилиндра, находящейся в контакте с воздухом, — коэффициент пропорциональности. Площадь поверхности, контактирующей с воздухом, для остальных цилиндров вдвое меньше (радиус цилиндра вдвое больше его высоты), поэтому для этих цилиндров поток тепла в воздух равен
Для потока тепла через картонную прокладку от второго цилиндра к первому справедливо выражение
При этом , так как температуры цилиндров не меняются. Аналогично для потока тепла через картон от цилиндра с номером к цилиндру с номером :
Для цилиндра с номером условие равенства потоков приходящего и уходящего тепла (уравнение теплового баланса) выглядит так:
После преобразований получаем рекуррентную формулу:
Используя эту формулу и значения и , получаем:
С учётом того, что — разница температур цилиндра и воздуха, окончательный ответ для значений температуры такой: третий цилиндр — , четвёртый — , пятый — , шестой и плита — .
В решении учтено, что боковая поверхность первого цилиндра вдвое больше боковой поверхности остальных цилиндров. Если не учтено, то не ставятся баллы за этот пункт и за численные ответы.
Записано уравнение теплообмена одного из цилиндров с окружающей средой.
Записано уравнение теплопередачи для одной из картонных прокладок.
Записано уравнение теплового баланса для первого цилиндра.
Записано уравнение теплового баланса для одного из цилиндров, расположенного не с краю.
Получено верное соотношение, позволяющее рассчитывать температуру цилиндра с номером по известным температурам цилиндров с меньшими номерами. Если в выражении допущена арифметическая ошибка, то балл.
Получены верные значения температур для цилиндров с номерами – (по баллу за ответ). Оцениваются только верные значения вне зависимости от причины ошибки.