Зонд
Экспериментатор Глюк сконструировал атмосферный зонд, состоящий из шара объёмом , заполненного гелием при давлении и температуре , и подвешенного к нему набора метеорологических датчиков.
- При какой максимальной массе датчиков зонд сможет подняться на высоту ?
- На какую максимальную высоту сможет подняться такой шар без датчиков?
График зависимости давления воздуха от высоты над поверхностью представлен на рисунке. Считайте, что температура воздуха линейно уменьшается с высотой от (у поверхности Земли) до (на высоте ). Оболочка шара является тонкой, нерастяжимой и непроницаемой для газов. Температуру газа внутри шара считать равной температуре окружающего воздуха. Объёмом датчиков при расчётах можно пренебречь. Масса оболочки шара равна , молярная масса гелия , молярная масса воздуха , универсальная газовая постоянная .
Решение.
Температура падает с высотой со скоростью . На высоте , следовательно, температура равна , а давление (по графику) . Плотность воздуха на этой высоте равна
Масса гелия в шаре в процессе подъёма не меняется, поэтому
Запишем условие равновесия зонда на заданной высоте:
Откуда
Без датчиков шар будет подниматься, пока не станет справедливым новое условие равновесия
Отсюда следует, что
Для нахождения высоты построим поверх графика зависимости прямую, соответствующую полученному уравнению, и найдём, что максимальная высота равна примерно .
Примечание: на графике (толстая линия) изображена функция
задающая распределение давления по высоте при зависимости температуры .
Получен коэффициент пропорциональности в зависимости давления воздуха от высоты . Примечание: баллы за пункт ставятся, даже если коэффициент явным образом не вычислен, но записано верное выражение, позволяющее определить температуру воздуха на нужных высотах.
Формула для плотности газа .
Определена масса гелия в шаре: .
Записано условие равновесия: сила тяжести равна силе Архимеда.
Определена масса датчиков (формула): .
Определена масса датчиков (число): . Примечание: если численный ответ верный и получен из правильных соображений, то баллы за предыдущий ставятся полностью даже при отсутствии конечной формулы.
Реализована методика нахождения максимальной высоты подъема без датчиков. Например: получена функция и предложен графический способ нахождения высоты или предложена реализуемая методика постепенного подбора значения высоты.
Численный ответ .