Больше или меньше
Рассмотрим два процесса и , в каждом из которых молей идеального одноатомного газа квазистатически переводят из состояния с объёмом и температурой в состояние с объёмом и температурой так, что в течение всего процесса температура газа не уменьшается и тепло от газа не отводится.
При этом процесс осуществляется таким образом, что количество теплоты, которое подводят к газу, оказывается максимально возможным при выполнении данных условий, а в процессе количество теплоты оказывается минимальным.
Определите:
1. максимальные , и минимальные , значения объёмов газа в каждом из этих процессов;
2. количество теплоты и , подведённое в каждом процессе.
Решение.
Способ 1.
Через любую точку, соответствующую состоянию газа в координатах , проходит ровно одна изотерма. Изотермы друг с другом не пересекаются и расположенным выше изотермам соответствуют большие температуры. При переходе газа из состояния в состояние точка, соответствующая его состоянию, не может перемещаться с «верхних» изотерм на «нижние», так как температура газа не уменьшается, а траектория процесса лежит между изотермами, проходящими через точки и .
Если теперь рассмотреть аналогичным образом на той же -плоскости семейство адиабат, то точка, соответствующая состоянию газа, не может перемещаться с «верхних» адиабат на «нижние», так как тепло от газа не отводится, следовательно, траектория процесса лежит между адиабатами, проходящими через точки и (см. рис.).
Покажем, что максимальное количество теплоты в таком процессе подводится к газу в случае, если его сначала адиабатически перевести из состояния в состояние , затем изотермически из состояния в состояние . Рассмотрим цикл , полагая переход из состояния в состояние произвольным, лежащим внутри криволинейного четырёхугольника . Работа в этом цикле равна разности подведённого на участке количества теплоты и отведённого при переходе количества теплоты . Так как работа положительна, . Так как процесс выбран произвольно (при ограничениях на подвод тепла и изменение температуры, которые оговорены в условии), то величина соответствует максимальному значению количества теплоты, которое может быть подведено при таком переходе.
Аналогично можно показать, что минимально возможному количеству теплоты соответствует процесс, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния в состояние , а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния в состояние .
Способ 2.
Приведём анализ характера процессов и с использованием понятия энтропии. Процессы и протекают так, что в течение всего процесса температура газа не уменьшается и тепло от газа не отводится, значит энтропия в этих процессах не может уменьшаться. Подведённая теплота и изменение энтропии связаны соотношением:
Процесс протекает с максимально возможным подведённым теплом, значит в этом процессе всё подведённое тепло должно быть передано при максимально возможной температуре. Для этого систему нужно перевести без подвода тепла в состояние с максимально возможной температурой, что соответствует процессу, при котором газ сначала адиабатически сжимается из состояния в состояние , а затем изотермически расширяется, переходя из состояния в состояние .
Процесс протекает с минимально возможным подведённым теплом, значит в этом процессе всё подведённое тепло должно быть передано при минимально возможной температуре, после чего в состояние систему нужно перевести без подвода тепла. Это соответствует процессу, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния в состояние , а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния в состояние .
Перейдём к вычислению объёмов, соответствующих точкам и . Уравнение, связывающее переменные и в адиабатическом процессе:
где — показатель адиабаты. Для одноатомного идеального газа и . Отсюда для процесса :
Очевидно, что
Для процесса :
Разумеется,
Теплота в этих процессах подводится на изотермах. Количество теплоты в изотермическом процессе равно работе газа. Для процесса :
Для процесса :
Метод 1. Утверждение, что траектория процесса лежит между изотермами, проходящими через точки и .
Метод 1. Утверждение, что траектория процесса лежит между адиабатами, проходящими через точки и .
Метод 2. Утверждение, что энтропия в процессах и не может уменьшаться.
Метод 2. Использовано соотношение .
Метод 2. Утверждение, что в процессе всё подведённое тепло должно быть передано при максимально возможной температуре.
Метод 2. Утверждение, что в процессе всё подведённое тепло должно быть передано при минимально возможной температуре.
Утверждение, что максимальное количество теплоты будет подведено в процессе .
Утверждение, что минимальное количество теплоты будет подведено в процессе .
Получено или используется уравнение адиабаты: или .
.
.
.
.
Указано, что теплота подводится только на изотермах и равна работе газа.
.
.