Пузырёк чёрного курильщика
В океанах на большой глубине около срединно-океанических хребтов могут встречаться такие источники тепла, как чёрные курильщики. Они извергают геотермальную воду высокой температуры. После одного из таких выбросов в толще океана появился слой теплой воды, температура в котором изменялась с глубиной так, как показано на рисунке (представлен на отдельном листе).
Продукты выброса чёрных курильщиков также часто содержат различные газы, которые формируют пузырьки.
1. Найдите все возможные значения глубины, на которых пузырёк в воде будет находиться в равновесии.
2. Определите, являются ли найденные положения равновесия устойчивыми.
Считайте, что:
- течение в воде отсутствует, и она находится в состоянии покоя;
- пузырёк всегда имеет форму шара, и давление внутри него равно внешнему давлению воды;
- газ внутри пузырька можно считать идеальным;
- температура внутри пузырька равна температуре окружающей воды;
- газ не растворяется в воде.
Молярная масса газа , плотность воды постоянна и равна , универсальная газовая постоянная , ускорение свободного падения , атмосферное давление .
Решение.
Пузырёк будет находиться в равновесии, если плотность газа внутри него будет равна плотности воды .
Плотность газа согласно уравнению Менделеева—Клапейрона определяется выражением
где — температура газа в кельвинах, — давление газа на глубине , равное
Откуда получаем, что плотность газа равна
Температура воды изменяется с глубиной, при этом данная зависимость не задана аналитически, а представлена в виде графика. Поэтому представим условие равновесия графически. Для этого из последнего уравнения получим зависимость температуры газа внутри пузырька от глубины , на которой данный пузырёк находится. Учитывая, что , из последнего уравнения находим:
Подставим числа в уравнение:
Учитывая связь температуры по шкале Цельсия с температурой по шкале Кельвина, получаем:
Полученную из условия равновесия зависимость и зависимость из условия задачи представим на одном графике. Видно, что графики зависимостей пересекаются в трёх точках , и , значит существует три соответствующих положения равновесия.
Из графика находим глубину для трёх положений равновесия пузырька, соответствующие точкам , и графика:
Проанализируем положение равновесия в точке на устойчивость. Пусть пузырёк смещается на чуть бо́льшую глубину. В этом случае температура газа внутри пузырька будет меньше той, которая необходима для обеспечения его равновесия, а значит плотность газа в пузырьке будет больше плотности воды. Это означает, что сила Архимеда будет меньше силы тяжести, и, следовательно, пузырёк будет тонуть и дальше. То есть получаем, что положение равновесия в точке неустойчиво. Аналогично рассуждая, получим, что положение равновесия в точке устойчиво, а в точке — неустойчиво.
Записано условие равновесия пузырька в виде , равенство плотностей воды и газа или другое равносильное утверждение.
Записано выражение для плотности газа: .
Записано выражение для давления воды на глубине : .
Получена связь между температурой газа и глубиной погружения: .
Вычислены коэффициенты линейной зависимости : .
Учтено, что температура на графике указана в градусах Цельсия, и уравнение прямой пересчитано для этой шкалы.
Построен график зависимости или его эквивалент; если по графику найдены корректные положения равновесия пузырька, баллы за два предыдущих пункта ставятся автоматически.
Указано, что существует три положения равновесия пузырька в воде.
.
.
.
Обосновано, что положение равновесия в точке устойчиво, а в точках и неустойчиво.