Нагрев жидкости
Два вертикальных цилиндрических сосуда соединены внизу тонкой трубкой, обеспечивающей свободное перетекание жидкости.
Площади поперечных сечений сосудов равны и (см. рисунок). Сосуд большего сечения имеет высоту и сверху герметично закрыт горизонтальной жёсткой крышкой, сосуд меньшего сечения значительно выше и открыт сверху. Снаружи вакуум. Сосуды заполняют экспериментальной жидкостью до высоты при температуре . Известно, что при изменении температуры этой жидкости в интервале от до , её плотность линейно уменьшается с температурой от значения до значения . Температуру жидкости в сосуде большего сечения медленно повышают от до . После нагрева и установления равновесия в системе найдите:
-
давление жидкости на дне сосудов;
-
давление жидкости на крышку в сосуде большего сечения;
-
температуру жидкости в сосуде меньшего сечения. Давлением насыщенных паров жидкости, теплоёмкостью сосудов, а также теплообменом с окружающей средой и через трубку, соединяющую сосуды, пренебречь. Ускорение свободного падения равно . Удельную теплоёмкость жидкости считайте постоянной.
Ответ
Зависимость плотности от температуры: . (1) Начальная масса жидкости в левом сосуде: . Следовательно сосуд большего сечения заполнится доверху, когда плотность в нём уменьшится до . Из (1) получаем: . После этого жидкость начинает перетекать из левого (широкого) сосуда в правый. При достижении температуры масса жидкости в левом сосуде равна: . Полная масса жидкости изначально: . Следовательно, масса жидкости в правом сосуде после нагрева: . Тогда давление на дне: . Давление жидкости на крышку в сосуде большего сечения найдём из равенства давлений: . Поскольку объём левого сосуда фиксирован (при достижении высоты ), уменьшение массы в нём прямо пропорционально уменьшению плотности при нагреве. При нагреве левого сосуда на малую величину плотность уменьшается на , и в правый сосуд перетекает масса: , (2) температура которой равна текущей температуре в левом сосуде.
Способ 1. Можно считать, что нагреватель сообщил количество теплоты массе уже после того, как она переместилась в правый сосуд. Тогда количество теплоты, поступающее в правый сосуд: , где — теплоёмкость жидкости. Если воспользоваться графиком зависимости (), то можно заметить, что величине пропорциональна площадь полоски шириной и длиной − (см. рисунок 1),
домноженной на . Полное количество «перенесённой» в правый сосуд теплоты пропорционально площади трапеции, показанной на рисунке 2,
с домножением на . Тогда: . Эта теплота, распределённая по массе , повысит температуру правого сосуда: .
Способ 2. Из (1) и (2) получим, что при повышении температуры левого сосуда от до масса, перетекающая в правый сосуд, увеличивается равномерно с температурой: . Следовательно, распределение масс по температуре равномерное, и средняя температура приходящих порций жидкости равна среднему арифметическому концов интервала: . Уравнение теплового баланса для правого сосуда: , где начальная масса жидкости в правом сосуде. Отсюда: .
Способ 3. Малая масса, перетекающая при возрастании температуры на : . Из (1): . Количество теплоты, переносимое этой массой: . Интегрируем от до : . Подставляем пределы: . Далее, как и в первом способе: . Окончательно: .