Нагрев жидкости
Два вертикальных цилиндрических сосуда соединены внизу тонкой трубкой, обеспечивающей свободное перетекание жидкости.
Площади поперечных сечений сосудов равны и (см. рисунок). Сосуд большего сечения имеет высоту и сверху герметично закрыт горизонтальной жёсткой крышкой, сосуд меньшего сечения значительно выше и открыт сверху. Снаружи вакуум. Сосуды заполняют экспериментальной жидкостью до высоты при температуре . Известно, что при изменении температуры этой жидкости в интервале от до , её плотность линейно уменьшается с температурой от значения до значения . Температуру жидкости в сосуде большего сечения медленно повышают от до . После нагрева и установления равновесия в системе найдите:
-
давление жидкости на дне сосудов;
-
давление жидкости на крышку в сосуде большего сечения;
-
температуру жидкости в сосуде меньшего сечения. Давлением насыщенных паров жидкости, теплоёмкостью сосудов, а также теплообменом с окружающей средой и через трубку, соединяющую сосуды, пренебречь. Ускорение свободного падения равно . Удельную теплоёмкость жидкости считайте постоянной.
Зависимость плотности от температуры: . (1) Начальная масса жидкости в левом сосуде: . Следовательно сосуд большего сечения заполнится доверху, когда плотность в нём уменьшится до . Из (1) получаем: . После этого жидкость начинает перетекать из левого (широкого) сосуда в правый. При достижении температуры масса жидкости в левом сосуде равна: . Полная масса жидкости изначально: . Следовательно, масса жидкости в правом сосуде после нагрева: . Тогда давление на дне: . Давление жидкости на крышку в сосуде большего сечения найдём из равенства давлений: . Поскольку объём левого сосуда фиксирован (при достижении высоты ), уменьшение массы в нём прямо пропорционально уменьшению плотности при нагреве. При нагреве левого сосуда на малую величину плотность уменьшается на , и в правый сосуд перетекает масса: , (2) температура которой равна текущей температуре в левом сосуде.
Способ 1. Можно считать, что нагреватель сообщил количество теплоты массе уже после того, как она переместилась в правый сосуд. Тогда количество теплоты, поступающее в правый сосуд: , где — теплоёмкость жидкости. Если воспользоваться графиком зависимости (), то можно заметить, что величине пропорциональна площадь полоски шириной и длиной − (см. рисунок 1),
домноженной на . Полное количество «перенесённой» в правый сосуд теплоты пропорционально площади трапеции, показанной на рисунке 2,
с домножением на . Тогда: . Эта теплота, распределённая по массе , повысит температуру правого сосуда: .
Способ 2. Из (1) и (2) получим, что при повышении температуры левого сосуда от до масса, перетекающая в правый сосуд, увеличивается равномерно с температурой: . Следовательно, распределение масс по температуре равномерное, и средняя температура приходящих порций жидкости равна среднему арифметическому концов интервала: . Уравнение теплового баланса для правого сосуда: , где начальная масса жидкости в правом сосуде. Отсюда: .
Способ 3. Малая масса, перетекающая при возрастании температуры на : . Из (1): . Количество теплоты, переносимое этой массой: . Интегрируем от до : . Подставляем пределы: . Далее, как и в первом способе: . Окончательно: .
Получена верная зависимость плотности от температуры: .
Найдена плотность (или температура), при которой жидкость из левого сосуда начнёт перетекать в правый: или .
Верно найдена конечная масса жидкости в левом сосуде: .
Получена полная масса жидкости: .
Вычислена масса жидкости в правом сосуде после нагрева: .
Верно найдено давление на дно: .
Верно найдено давление жидкости на крышку в сосуде большего сечения: .
Получено выражение для массы, перетекающей в правый сосуд: , или аналогичное верное.
Метод 1. Выведено выражение для малого количества теплоты, поступающего в правый сосуд: .
Метод 1. В работе указано или используется, что величина пропорциональна площади полоски шириной и длиной , домноженной на .
Метод 1. Найдено количество теплоты, поступившее в правый сосуд за счёт перетекания жидкости: .
Метод 2. В уравнении теплового баланса используется средняя температура перетекающих порций жидкости, при этом присутствует обоснование этого подхода, основанное на линейности зависимости плотности от температуры.
Метод 2. Верно составлено уравнение теплового баланса для правого сосуда: .
Метод 3. Получено выражение для малой массы, перетекающей при возрастании температуры на dt: .
Метод 3. Количество теплоты, переносимое малой массой: .
Метод 3. Полученное выражение проинтегрировано от до : .
Метод 3. Найдено количество теплоты, поступившее в правый сосуд за счёт перетекания жидкости: .
Получено верное значение конечной температуры: .