Тепловой цикл
Экспериментатор Глюк поставил на газовую плиту кастрюлю с водой. Вода имеет неизвестные начальные массу и температуру . Ненадолго отвлёкшись, он обнаружил, что большая часть воды уже выкипела. Глюк осознал, что процесс нагревания нужного количества воды придётся начинать сначала. Он выключил плиту, и с небольшим постоянным массовым расходом стал доливать в кастрюлю холодную воду температурой . Когда масса воды в кастрюльке стала равна начальной, температура воды также оказалась равна начальной температуре.
Диаграмма зависимости температуры воды в кастрюле в течение эксперимента от величины, обратной к общей массе воды в кастрюле (см. рисунок), оказалось, представляет собой замкнутый цикл , причём времена кипения воды на участке и доливания холодной воды на участке равны.
1. Найдите полезную тепловую мощность , передаваемую водой газовой плитой, если КПД газовой плиты, а массовый расход сжигаемого газа , удельная теплота сгорания газа .
2. Найдите массовый расход холодной воды на участке .
3. Найдите начальную температуру воды . Перенесите диаграмму в тетрадь и восстановите её, указав численные значения температуры воды в важных точках.
4. Найдите отношение времени кипения воды на участке к времени нагревания воды на участке .
Тепловых потерь нет. Испарением на участках и и теплоёмкостью кастрюли пренебречь. Удельная теплота парообразования воды , удельная теплоёмкость воды , температура кипения воды .
Решение.
За время сжигается газа, то есть выделяется энергии. Лишь -ая её часть идёт на нагревание воды . Тогда эффективная мощность
Заметим, что на участке не происходит изменения массы воды (не происходит испарений и доливаний), т.е. этот участок вертикальный. Обозначим массу воды в точке за . Уравнение, описывающее испарение на участке :
Уравнение, описывающее доливание воды на участке :
С учётом получим
Уравнение теплового баланса на участке ( — температура кипения воды, — удельная теплоёмкость воды, и — текущие масса и температура воды на участке ):
Из него следует зависимость температуры воды от её массы на этом участке
Последняя формула показывает линейность участка . Температура воды при массе, равной начальной , равна
Восстановим целостный вид диаграммы — это прямоугольный треугольник с вершинами , , .
Уравнение, описывающее нагревание на участке :
Тогда
Полученная мощность пропорциональна и имеет правильную размерность.
Получена верная формула для эффективной мощности .
Верно найден численный ответ .
Получено верное уравнение, описывающее кипение на участке : .
Получено верное уравнение, описывающее доливание воды на участке : .
Получено верное выражение для массового расхода .
Получен верный формульный ответ .
Получен верный численный ответ .
Записано уравнение теплового баланса на участке : .
Уравнение теплового баланса приведено к функциональному виду .
Сделан вывод о линейности участка .
Получен ответ для температуры воды в точке : .
Восстановлена диаграмма: обязательна линейность участка и .
Получено уравнение, описывающее нагревание на участке : .
Найдено отношение времён .