Другой уровень
Тонкая трубка площадью поперечного сечения изогнута в виде перевёрнутой буквы П (см. рисунок). В горизонтальной части трубки находится невесомый поршень, который связан с левой стенкой пружиной. В вертикальных концах трубки в равновесии находятся две жидкости: в левой — жидкость плотностью , а в правой — жидкость плотностью . При этом разность уровней верхних границ жидкостей в вертикальных коленах составляет , а пружина недеформирована. Коэффициент жёсткости пружины подобран таким образом, чтобы при добавлении в левое колено жидкости плотностью разность уровней всё время оставалась постоянной.
1. Чему равен коэффициент жёсткости ?
В левую часть трубки добавляют объём жидкости плотностью , при этом верхние границы жидкостей в обоих коленах трубки оказываются на одной высоте.
2. Чему равен объём ?
Трение между поршнем и трубкой отсутствует. Ускорение свободного падения считайте известным.
Решение.
Так как оба конца трубки открыты в атмосферу, атмосферное давление можно не учитывать. Условие равновесия поршня в начальном положении:
где и — высота столба жидкости выше центра поршня в левой и правой частях соответственно. При добавлении жидкости плотностью в левый сосуд поршень сместится на расстояние вправо, и на него начнёт действовать сила упругости. Условие равновесия поршня после добавления некоторого количества жидкости:
После перемещения поршня на расстояние , уровень жидкости в правой части тоже увеличится на :
Где — высота, на которую увеличился уровень жидкости в левом сосуде. Для того чтобы разность высот оставалась постоянной, должно равняться . Тогда:
Условие равновесия поршня после добавления в левую часть объёма жидкости плотностью :
Чтобы верхние границы жидкостей совпадали, высота добавленной в левое колено жидкости плотностью должна быть равна:
Тогда, с учётом найденного коэффициента жёсткости пружины :
Убедимся, что при перемещении поршня на расстояние в левой вертикальной части трубки останется жидкость плотностью . Условие равновесия поршня в начальный момент:
Объём добавленной жидкости может быть найден по формуле:
Подставив в это выражение значение , найдём :
При решении задачи учитывается атмосферное давление либо явно указано, что его можно не учитывать.
Верное выражение для равновесия поршня при недеформированной пружине: .
Записано правильное условие равновесия поршня после добавления некоторого количества жидкости: .
Указано, что для сохранения разности высот , должно равняться , или используются аналогичные верные утверждения.
Получено правильное значение коэффициента жёсткости пружины: .
Записано верное условие равновесия поршня после добавления в левую часть объёма жидкости плотностью : .
Правильно найдена высота столба добавленной жидкости плотностью .
Правильно найдено перемещение поршня .
Верно найден объём добавленной жидкости: .