Трапеция лорда Кельвина
В архиве лорда Кельвина была найдена диаграмма циклического процесса, проводимого с постоянным количеством идеального двухатомного газа, представляющая собой в координатах трапецию. От времени чернила выцвели, и на рисунке, представленном ниже, осталась видна лишь трапеция. Известно, что теплоёмкость в каждом из процессов , , , была постоянна, причём .
Также известно, что максимальная температура газа в цикле равна , а температуры некоторой пары из точек , , , были одинаковы и равны .
- Пользуясь только циркулем и линейкой без делений, восстановите положения координатных осей .
Примечание: описывать построение параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку, деление отрезка пополам и подобные стандартные геометрические процедуры не обязательно.
- Определите температуры , , , в точках , , , соответственно.
- Найдите КПД цикла .
Решение.
Теплоемкость газа равна:
Поймем, для каких линейных процессов , кроме и , теплоемкости являются постоянными. Пусть
Тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона:
Подставляя выражение для в выражение для теплоемкости, получим:
Теплоемкость не зависит от объема, если , что соответствует прямой, проходящей через начало координат. Поскольку , имеем:
Поскольку , процессы и являются изобарами, а процессы и соответствуют прямым линиям, проходящим через начало координат.
Проведя линии и до пересечения, найдем положение начала координат. Далее, проводя через начало координат лучи, параллельные и перпендикулярные направлению изобар, получим направления осей объема и давления соответственно.
Поскольку и , из подобия треугольников следует, что
Тогда имеем:
Поскольку и , температуры в точках и одинаковы и равны , а температура в точке максимальна и равна . Тогда температура в точке равна
Таким образом:
Газ получает тепло на участках и , а отдает — на участках и . Тогда имеем:
Поскольку и , находим:
После упрощения:
Показано, что линейные процессы с постоянной теплоемкостью являются изобарами или прямыми, проходящими через начало координат.
Определено, что и — изобары, а и проходят через начало координат.
Верно восстановлены направления осей и .
Получено соотношение .
Определены температуры , , .
Верно записаны теплоты и для участков цикла.
Получено значение КПД .