Нагревание насосом
Сосуд с теплоизолирующими стенками заполнен атмосферным воздухом при температуре и давлении . Через малый клапан в стенке сосуда с помощью насоса, соединённого с клапаном, в сосуд начинают закачивать воздух. Малая порция воздуха из атмосферы поступает в насос, сжимается, после чего в результате теплообмена с окружающей средой охлаждается до температуры , при этом после охлаждения давление воздуха в насосе всегда незначительно выше, чем в сосуде. Затем открывается клапан, и порция воздуха из насоса поступает в сосуд при практически постоянных давлении и температуре, сразу после чего клапан закрывается.
Воздух можно считать идеальным двухатомным газом. Теплопотерями за время, в течение которого клапан открыт, можно пренебречь. Считайте, что в процессе закачивания давление воздуха в насосе всегда больше, чем давление воздуха в сосуде, а газ, находящийся в сосуде, из него никогда не вытекает. В результате многократного повторения описанного процесса давление в сосуде повышается до .
1. Во сколько раз изменилось количество вещества газа в сосуде?
2. Определите температуру в сосуде.
Решение.
Пусть — объём сосуда, — начальное количество вещества в сосуде, а — количество вещества, переместившееся в сосуд из атмосферы. Запишем уравнения состояния газа в сосуде до и после закачивания:
Пусть давление воздуха внутри насоса равняется , а — объём, занимаемый порцией воздуха в количестве вещества внутри насоса. При закачивании указанной порции воздуха в сосуд насос совершает механическую работу , равную:
Но из уравнения Менделеева—Клапейрона , поэтому:
Таким образом, полная механическая работа насоса составляет:
Запишем первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначально находившегося в сосуде газа и закаченного в него насосом:
Здесь — начальная внутренняя энергия воздуха, изначально находившегося в сосуде, — сумма внутренних энергий закачиваемого воздуха на этапе закачивания в сосуд, а — конечная внутренняя энергия рассматриваемой системы. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна . Отсюда:
Таким образом:
Для отношения количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала имеем:
откуда:
Для отношения температур имеем:
Таким образом:
Записано уравнение состояния газа в сосуде до начала процессов с насосом: .
Записано уравнение состояния газа в сосуде по окончании процессов с насосом: .
Для отношения начальной и конечной температур получено .
Указано, что в рассматриваемых процессах насос совершает механическую работу.
Записано, что работа , совершённая насосом при закачивании порции воздуха, равна .
Использовано уравнение Менделеева—Клапейрона и определена работа .
Определена полная механическая работа, совершённая насосом: .
Записано первое начало термодинамики для системы: .
Первое начало термодинамики приведено к эквивалентному расчётному виду для двухатомного газа.
Определено отношение количества вещества воздуха после процессов с насосом и до их начала.
Определена температура воздуха в сосуде по окончании процессов с насосом.