Тяжёлый поршень
В вертикальном закрытом сосуде переменного сечения имеются два отделения цилиндрической формы: нижнее с площадью сечения и высотой и верхнее с площадью сечения и высотой .
Нижнее отделение плотно и герметично закрыто подвижным теплопроводящим поршнем (поршень не приклеен, но газ не проникает в пространство между поршнем и опорами), который может с минимальным трением перемещаться внутри верхнего отделения. В обоих отделениях находится одно и то же количество газа при температуре . Газ во всём сосуде медленно нагревают. Когда температура газа достигает величины , поршень отрывается от опор.
- Чему равна масса поршня?
- На какой высоте от нижнего основания сосуда окажется поршень в равновесии? Температура всего газа поддерживается равной .
- Газ в сосуде начинают медленно охлаждать. При какой температуре поршень снова опустится на опоры?
Примечание: температура газа над и под поршнем всегда поддерживается одинаковой.
Возможное решение.
- Поршень отрывается, когда сила давления газа под поршнем становится равной сумме сил давления газа над поршнем и силы тяжести поршня:
Давление газа можно выразить из уравнения Менделеева — Клапейрона:
При температуре :
Отсюда масса поршня равна
- Заметим, что как только поршень оторвётся от упоров, газ под поршнем начнёт давить сразу на всю его площадь, и сила давления скачком увеличится. Так как между поршнем и стенками есть малая сила трения, то через некоторое время поршень остановится в положении равновесия.
Запишем условие равновесия:
При этом объём газа под поршнем равен , а объём газа над поршнем равен . Поэтому
После сокращения получаем квадратное уравнение
Решая его, получим:
Корень со знаком плюс не подходит, так как он больше . Окончательно:
- Пусть теперь газ охладился до температуры . Запишем условие равновесия с учётом того, что , и непосредственно перед соприкосновением с опорами газ давит на всю площадь поршня как сверху, так и снизу:
Отсюда
Записано условие отрыва поршня или .
Учтено, что снизу газ давит не на всю поверхность поршня.
Из уравнения состояния идеального газа выражено его давление .
Получен ответ .
Для второго вопроса записано условие равновесия .
Выражены объёмы газа над и под поршнем.
Получен ответ . Если второй ответ не отброшен, то балла.
Для третьего вопроса записано условие равновесия .
Учтено, что под поршнем газ давит на всю его поверхность.
Получен ответ .