Трубка со ртутью
В -образную трубку, расположенную вертикально открытыми концами вверх, залили ртуть, после чего концы трубки запаяли.
Радиус закругления внизу трубки и внутренний диаметр трубки много меньше длины прямых участков. Длина столбиков воздуха в исходном положении составляла , длина столбиков ртути справа и слева от места изгиба трубки равнялась (см. рисунок). Трубку повернули вокруг горизонтальной оси на . Через некоторое время ртуть заняла устойчивое положение равновесия.
-
На какое расстояние сместятся концы столбика ртути после переворота, если в конечном состоянии температура не изменится и будет равна ?
-
На какое расстояние сместятся концы столбика ртути, если температуру ртути и воздуха в трубке уменьшить до ?
-
На какое расстояние сместятся концы столбика ртути, если температуру ртути и воздуха в трубке уменьшить до ?
-
Докажите устойчивость положения равновесия, найденного в п. 3. Капиллярными эффектами и колебаниями столбика ртути можно пренебречь. Ускорение свободного падения равно . Атмосферное давление во время эксперимента
Пусть смещение концов столбика ртути после переворота трубки равно . Разность давлений воздуха в левой и правой частях трубки уравновешивается избыточным гидростатическим давлением ртути . Используя закон Бойля — Мариотта, найдём:
, .
Запишем условие равновесия столбика ртути:
.
После преобразований получаем:
.
Решения этого уравнения: , .
При подходит только один из корней: . Таким образом, сразу после переворота столбик ртути не смещается.
Понижение температуры до соответствует изменению начального давления воздуха (давления воздуха в трубке с запаянными концами до её переворота) с до , где . В этом случае существует решение:
.
Можно показать, что именно это решение соответствует устойчивому положению столбика ртути. Корень соответствует неустойчивому положению, то есть при небольшом смещении столбика ртути избыточное гидростатическое давление превышает разность давлений воздуха в левом и правом участках трубки, и ртуть стремится занять положение, соответствующее устойчивому положению.
Покажем, что корень соответствует устойчивому равновесию. Пусть от положения равновесия столбик ртути сместился дополнительно на некоторое малое расстояние , тогда давление газа в левой части сосуда:
.
Аналогично для давления в правой части сосуда:
.
Суммарная сила давления газа, стремящаяся вернуть столбик ртути в положение равновесия, равна
.
Сила, равная разности сил тяжестей, действующих на столбики ртути в разных частях сосуда, стремится вывести столбик ртути из положения равновесия:
.
Найдём разность возвращающей и выводящей из положения равновесия сил с учётом равенства в положении равновесия:
.
Подставив в выражение корень , получим:
,
что соответствует неустойчивому положению равновесия для при выбранном направлении смещения. Подставив , получим:
.
Следовательно, суммарная сила стремится вернуть ртуть в положение равновесия, и соответствует устойчивому положению равновесия.
Расчёт по полученной формуле для смещения при начальном давлении , где , соответствующего температуре , даёт результат:
.
Но в этом случае столбик ртути целиком перемещается в одну из частей трубки, и выражение для избыточного гидростатического давления должно быть заменено на .
Пусть столбик ртути целиком перешёл в одну из частей трубки и его нижний конец переместился вниз на , тогда в левой и правой частях трубки давление будет соответственно равно:
, .
Условие равновесия столбика выглядит теперь следующим образом:
.
Получим квадратное уравнение , которое имеет корни . Отбросив отрицательный корень, получаем ответ:
.
Покажем, что соответствует устойчивому положению равновесия. Пусть от положения равновесия ртуть дополнительно сместилась на малое расстояние , тогда давление газа в левой части сосуда:
, .
Аналогично находим давление газа в правой части сосуда:
, .
Суммарная сила давления газа, стремящаяся вернуть столбик ртути в положение равновесия, равна
.
Сила тяжести не изменяется при движении столба жидкости внутри одной части сосуда: . Найдём разность возвращающей и выводящей из положения равновесия сил с учётом равенства в положении равновесия:
.
То есть результирующая сила положительна и положение равновесия устойчиво.
Записаны выражения для давлений в каждой части трубки при смещении : , .
Явно указано или используется, что для равновесия ртути разность давлений в правой и левой частях трубки должна быть равна .
Верно записано условие равновесия для столбика ртути после переворота трубки.
Найден правильный ответ .
Записаны выражения для давлений в каждой части трубки при смещении с учётом изменения температуры, либо указано, что в выкладках для п. 1 атмосферное давление можно заменить на .
Из условия равновесия получено квадратное уравнение относительно или подставлено давление в решение уравнения для п. 1.
Найдено правильное значение смещения .
Записаны выражения для давлений в каждой части трубки при смещении с учётом изменения температуры, либо указано, что в выкладках для п. 1 атмосферное давление можно заменить на .
Показано с обоснованием, что ртуть полностью перельётся в одну из частей трубки.
Из условия равновесия получено квадратное уравнение относительно или эквивалентное уравнение, сводящееся к квадратному.
Найдено правильное значение смещения .
Доказано, что найденное положение равновесия устойчиво.