Что так, что эдак
Ваня и Маша провели эксперимента. В первом — десятилитровую кастрюлю, заполненную наполовину водой комнатной температуры (), грели на плитке мощностью в течение минут. При этом через минут после начала эксперимента в кастрюлю, не снимая её с плитки, долили некоторое количество воды комнатной температуры, а ещё через минуты, также не снимая кастрюлю с плитки, из неё столько же воды отлили.
Во втором эксперименте при тех же начальных условиях отлив и долив поменяли местами, не меняя общее время эксперимента, моменты манипуляций и количество доливаемой и отливаемой воды.
Конечная температура воды в кастрюле в обоих экспериментах совпала.
- Какой была масса добавляемой в экспериментах воды?
- Какую температуру имела вода в кастрюле в конце экспериментов?
- Какого максимального значения достигала температура воды в кастрюле в каждом из проведённых экспериментов?
Считайте, что долив и отлив воды происходят очень быстро. Тепловые потери и теплоёмкость кастрюли пренебрежимо малы, а вода в процессе экспериментов не закипала. Удельная теплоёмкость воды , плотность воды .
Решение.
Ситуация, описанная в задаче, может произойти только при условии, что отлив воды в экспериментах происходит при одинаковой температуре. Действительно, при отливе вода забирает с собой часть тепла, переданного плиткой, равную , где — это температура, при которой воду выливают из кастрюли. А поскольку общее количество теплоты, переданное воде плиткой, в обоих случаях одинаково, то и должно быть одинаковым. Найдём температуру, при которой происходит отлив воды во втором эксперименте:
Здесь и далее — это масса воды в кастрюле в начале эксперимента (). Эту же температуру должна иметь вода в первом эксперименте через время после его начала. Отсюда:
Откуда
Тогда конечная температура в каждом из экспериментов:
Причём для первого случая эта температура одновременно является максимально возможной по ходу всего эксперимента (поскольку она больше ). Во втором случае максимального значения температура может достигать либо в конце эксперимента, либо непосредственно перед доливом воды (через от начала нагрева). При проверке выясняется, что реализовался второй сценарий:
Аргументировано показано, что указанная ситуация возможна только когда отлив воды происходит при одинаковой температуре.
Записано выражение для нахождения в первом эксперименте: .
Записано выражение для нахождения во втором эксперименте: .
Верное аналитическое выражение: .
Верное численное значение: .
Записано уравнение для нахождения : .
Верное численное значение: .
Указано, что в процессе второго эксперимента температура может достичь большего значения, чем конечная.
Записано уравнение для нахождения максимального значения температуры: .
Верное численное значение максимальной температуры: .