Инженерная олимпиада 2023, 10 класс, задача 6
На дороге лежит бревно радиуса . Перпендикулярно бревну едет автомобиль, колеса которого имеют радиус . Считая, что коэффициенты трения колеса автомобиля о бревно и бревна о дорогу одинаковы, найти при каких значениях этого коэффициента колеса автомобиля смогут медленно переехать бревно. Весом бревна пренебречь.
Чтобы колесо смогло переехать бревно, должны быть выполнены следующие условия: при контакте с колесом бревно не должно вращаться и не должно скользить по дороге. При выполнении этих условий сила трения и сила реакции , действующие на колесо в точке контакта с бревном (и которые можно увеличивать, нажимая на педаль «газа» автомобиля) поднимут колесо, и вместе с силой , действующей на колесо со стороны автомобиля, заставят «перевалить» через бревно. На рисунке 1 показаны силы, действующие на колесо со стороны бревна и автомобиля.
Исследуем выполнимость этих условий. На бревно действуют: силы реакции и трения со стороны колеса и силы реакции и трения со стороны земли (см. рисунок 2).
Поскольку силы реакции проходят через центр бревна, то из уравнения моментов относительно центра заключаем, что
а из уравнения сил (в проекциях на горизонтальное направление)
где - угол между силой реакции и поверхностью земли (см. рисунок 2). Отсюда находим
И уравнения для сил в проекциях на вертикальное направление найдем
Таким образом, оба условия проскальзывания - между колесом и бревном и между бревном и дорогой - будут нарушаться одновременно. Эти условия дают
Учитывая, что
получим условие переезда колеса через бревно
Правильная идея решения - колесо переезжает бревно благодаря силе трения между бревном и колесом - 1 балл
Доказано, что силы трения между колесом и бревном и между бревном и поверхностью одинаковы - 1 балл
Правильно использована формула для максимальной силы трения покоя - 1 балл
Доказано, что условия непроскальзывания между колесом и бревном и бревном и поверхностью будут нарушаться одновременно - 1 балл
Правильный ответ для минимального коэффициента трения, при котором колесо может переехать бревно - 1 балл