Инженерная олимпиада 2022, 11 класс, задача 6
Незнайка решил изготовить «инновационного ваньку-встаньку». Для этого он взял очень много шаров одинаковой плотности, радиусы которых отличаются вдвое. Незнайка скрепил шары так, что центры всех шаров лежат на одной прямой, а радиус каждого последующего меньше радиуса предыдущего в раза. Незнайка решил, что из-за большой массы самого нижнего шара такая конструкция, поставленная на большой шар, будет устойчивой. Но «ванька-встанька» устойчивым не был. Объясните, почему. Знайка посоветовал Незнайке прикрепить к самой нижней точке большого шара точечное массивное тело. Какую оно должно иметь массу, чтобы «инновационный ванька-встанька» был устойчивым? Масса самого большого шара .
Чтобы тело, имеющее сферическую нижнюю поверхность и обладающее осевой симметрией находилось в равновесии на горизонтальной поверхности (см. левый рисунок) необходимо, чтобы его центр тяжести (отмечен крестиком на рисунке) находился ниже геометрического центра поверхности тела (отмечен кружком на рисунке).
Действительно, при отклонении тела вправо (правый рисунок) сила тяжести, которая приложена к центру тяжести, окажется левее геометрического центра нижней поверхности, который будет лежать над точкой касания поверхности тела с горизонтальной поверхностью, и момент силы тяжести относительно точки касания вернет тело в первоначальное положение. Так же момент силы тяжести вернет тело назад и при его отклонении влево. Если же центр тяжести тела окажется выше геометрического центра нижней поверхности, то при отклонении тела момент силы тяжести будет и дальше выводить его от первоначального положения. Поскольку центр тяжести нижнего шара ваньки-встаньки лежит в его геометрическом центре, и есть дополнительные шары сверху, то центр тяжести ваньки-встаньки будет лежать выше геометрического центра нижнего шара, и ванька-встанька не будет устойчивым.
Найдем положение центра тяжести ваньки-встаньки (пока без прикрепленного снизу тела). Координата центра тяжести системы тел в некоторой системе координат определяется соотношением
где , , , ... - массы частей, на которые можно разбить тело, , , , ... - координаты центров тяжести частей тела в этой системе координат. Найдем сначала массу ваньки-встаньки . Поскольку радиусы шаров отличаются вдвое, то объем и, следовательно, массы отличаются в раз. Поэтому
где , , , ... - массы шаров. Сумма в этой формуле образует геометрическую прогрессию со знаменателем . Поэтому
Сумма в числителе формулы для центра масс не сводится к простой геометрической прогрессии, поэтому для ее вычисления поступим следующим образом. «Положим» ваньку-встаньку «на бок» на поверхность (см. рисунок), найдем расстояние от поверхности до центра тяжести ваньки-встаньки и угол между поверхностью и прямой, проведенной от нижней точки ваньки-встаньки к его центру тяжести (угол на рисунке).
Очевидно (благодаря тому, что каждый последующий шар вдвое меньше предыдущего), все шары будут касаться поверхности. Поэтому расстояние от центра тяжести каждого шара до поверхности равно его радиусу. Используя формулу для центра масс, найдем расстояние от поверхности до центра тяжести ваньки-встаньки:
Сумма в знаменателе есть масса ваньки-встаньки. Сумма в числителе есть геометрическая прогрессия со знаменателем . Следовательно
Поскольку центр тяжести ваньки-встаньки лежит на прямой, соединяющей центры шаров, то угол между этой прямой и поверхностью (см. рисунок) можно найти как
Теперь легко найти расстояние от центра большого шара до центра тяжести ваньки-встаньки:
Поэтому расстояние от нижней точки ваньки-встаньки (когда он стоял на горизонтальной поверхности) до его центра тяжести равно
Теперь найдем массу тела, которую нужно прикрепить к нижней точке ваньки-встаньки, чтобы он был устойчивым. Для этого (как это было доказано выше) центр тяжести ваньки-встаньки с телом должен лежать ниже геометрического центра первого шара. Используя формулу для центра масс, получим следующее условие равновесия ваньки-встаньки:
Отсюда получаем для массы тела
Используя теперь найденные формулы, получим окончательно
Правильно объяснено, почему ванька-встанька неустойчив - 0,5 балла.
Правильно вычислена масса ваньки-встаньки – 0,5 балла.
Правильно найдено положение центра тяжести ваньки-встаньки – 0,5 балла.
Правильный ответ для массы утяжеляющего тела – 0,5 балла.