Инженерная олимпиада 2025, 10 класс, задача 5
Стержень массой кг прикреплен одним концом шарнирно к горизонтальному потолку. Вторым концом стержень опирается на тележку. Угол между стержнем и тележкой (см. рисунок).
Коэффициент трения между стержнем и тележкой равен . Сдвинется ли тележка вправо, если ее тянуть с силой , равной одной четверти веса стержня? При каком коэффициенте трения между стержнем и тележкой тележка не сдвинется вправо ни при каких значениях силы ? Трением между колесами тележки и полом пренебречь.
Основная идея задачи заключается в том, что между стержнем и тележкой может возникнуть эффект заклинивания. Действительно, при попытке вытянуть тележку сила трения, действующая со стороны тележки на стержень, будет пытаться поставить стержень «в распор» между потолком и тележкой. Это приведет к увеличению силы реакции между стержнем и тележкой, т.е. к увеличению максимальной силы трения, которая действует со стороны тележки на стержень и со стороны стержня на тележку. Последняя сила и не позволит вытянуть тележку, если будет возрастать с ростом быстрее, чем . Поэтому найдем максимальную силу трения между тележкой и стержнем (при условии, что тележка находится в покое) и исследуем ее зависимость от силы .
Итак, рассмотрим случай малых сил , когда тележка заведомо покоится, и найдем силу трения. На стержень действуют сила тяжести, сила реакции тележки, сила трения (которая в случае покоя тележки равна внешней силе ) и сила реакции шарнира.
Условие моментов относительно шарнира дает
Откуда находим максимальную силу трения между тележкой и стержнем
При малых значениях силы главным слагаемым в скобках будет первое, и потому даже при небольших коэффициентах трения будет выполнено неравенство
и, следовательно, тележка будет находиться в покое. При увеличении силы максимальная сила трения будет увеличиваться, но будет и расти «сдвигающая» тележку сила . Поэтому для ответа на вопрос о движении тележки нужно сравнить и
где - знак сравнения (т.е. неравенство, неизвестно куда развернутое). Итак, для ответа на вопрос о покое или движении тележки нужно провести сравнение
или
Если левая часть больше правой, тележка покоится, если меньше, движется. Подставляя сюда данные в условии значения, находим
Значит, тележка будет двигаться.
Из сравнения следует, что если , левая часть сравнения будет больше правой при любых значениях силы . Т.е. в этом случае и наступает заклинивание. Таким образом, тележка не сдвинется ни при каких значениях силы , если
Правильная идея решения - сравнение сдвигающей силы и максимальной силы трения покоя
Правильное выражение для максимальной силы трения покоя
Правильное сравнение сдвигающей силы и максимальной силы трения покоя
Правильный вывод о движении тележки при действии на нее сдвигающей силы, равной четверти силы тяжести стержня
Правильный ответ для коэффициента трения, при котором произойдет заклинивание